[论文解读] Bounded gaps between primes in number fields and function fields

Abel Castillo, Chris Hall+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文将梅纳德-陶关于素数间有界间隔的定理推广至数域和有限域上的函数域。通过将梅纳德-陶方法适配到数域情形，并在函数域 $\mathbb{F}_q(t)$ 中证明其类比结果，作者建立了数域整数环中素元之间存在无穷多有界间隔，以及 $\mathbb{F}_q[t]$ 中首一不可约多项式之间存在有界间隔的结果，且给出了仅依赖于复嵌入个数或与 $q$ 无关的显式界限。关键结果是在函数域中得到统一的 $k_0(2) = 105$，从而在全实域中实现度数为 600 的有界间隔，并证明了间隔多项式具有正密度。

ABSTRACT

The Hardy--Littlewood prime $k$-tuples conjecture has long been thought to be completely unapproachable with current methods. While this sadly remains true, startling breakthroughs of Zhang, Maynard, and Tao have nevertheless made significant progress toward this problem. In this work, we extend the Maynard-Tao method to both number fields and the function field $\mathbb{F}_q(t)$.

研究动机与目标

• 将梅纳德-陶关于素数间有界间隔的定理推广至数域与函数域的背景。
• 在数域 $K$ 的整数环中证明存在无穷多素元之间的有界间隔，特别是全实域中的情况。
• 在函数域 $\mathbb{F}_q(t)$ 中证明梅纳德-陶定理的类比结果，其中不可约多项式扮演素数的角色。
• 为数域中素元之间的间隔大小以及函数域中不可约多项式之间的间隔大小建立定量界限。
• 证明函数域中实现有界间隔所需的 $k_0$ 值与 $q$ 无关，从而在所有有限域上实现统一界限。

提出的方法

• 通过在 $\mathcal{O}_K$ 中定义模素理想 $\mathfrak{p}$ 的 $k$-元组的容许性，将梅纳德-陶方法适配到数域，确保该元组不覆盖 $\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}$。
• 证明对任意 $m \geq 2$，存在 $k_0 = k_0(m,K)$，使得任何在 $\mathcal{O}_K$ 中容许的 $k$-元组（$k \geq k_0$）均能生成无穷多个 $\alpha \in \mathcal{O}_K$，使得 $\alpha + h_i$ 中至少有 $m$ 个为素元。
• 通过要求对每个不可约多项式 $P$，集合 $\{h_1,\dots,h_k\}$ 不覆盖 $\mathbb{F}_q[t]/P$，在 $\mathbb{F}_q[t]$ 中定义容许性，并将梅纳德-陶方法应用于该设定。
• 证明在 $\mathbb{F}_q(t)$ 中实现有界间隔所需的 $k_0(m)$ 与 $q$ 无关，因此梅纳德的值如 $k_0(2) = 105$ 依然有效。
• 利用 $K$ 中素数的密度水平，并利用 $K$ 为全实域时 $\theta < 1/2$ 的事实，应用梅纳德关于 $M_k$-值的结果。
• 通过归纳法建立间隔多项式的密度结果，表明在度数为 $n$ 的不可约多项式中，作为间隔出现的度数为 $d$ 的多项式的比例至少为 $\frac{1}{k-1} - \frac{1}{q-1}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 梅纳德-陶方法能否推广至数域？在 $\mathcal{O}_K$ 中，何种条件可保证存在此类有界间隔？
• RQ2 为保证在数域 $K$ 的整数环中存在 $m$ 个素元之间的有界间隔，所需的最小 $k_0$ 值是多少？
• RQ3 梅纳德-陶方法能否扩展至函数域 $\mathbb{F}_q(t)$？所需的 $k_0$ 能否与 $q$ 无关？
• RQ4 在固定大度数 $n$ 的 $\mathbb{F}_q[t]$ 中首一不可约多项式之间，能建立多大的间隔界限？
• RQ5 在 $\mathbb{F}_q[t]$ 中，作为首一不可约多项式之间间隔出现的度数为 $d$ 的多项式的比例是多少？

主要发现

• 对于任意全实数域 $K$，存在无穷多素元 $\alpha_1, \alpha_2 \in \mathcal{O}_K$，使得对 $K$ 的每个嵌入 $\sigma$，均有 $|\sigma(\alpha_1 - \alpha_2)| \leq 600$，该结果基于一个直径为 600 的有理整数 105-元组的容许性。
• $k_0(2) = 105$ 足够保证 $\mathbb{F}_q[t]$ 中不可约多项式之间的有界间隔，且与 $q$ 无关，将梅纳德的结果推广至函数域。
• 对任意 $d$，当 $n$ 足够大时，作为 $\mathbb{F}_q[t]$ 中度数为 $n$ 的不可约多项式之间间隔出现的度数为 $d$ 的多项式的比例至少为 $\frac{1}{k_0-1} - \frac{1}{q-1}$，其中 $k_0 = k_0(2)$。
• 每个单项式 $a \cdot t^d$ 均可作为间隔出现在所有足够大的 $n$ 的首一不可约多项式之间，只要 $(n-d, q-1) = 1$ 且 $q \geq k_0 + 1$。
• $\mathbb{F}_q(t)$ 中有界间隔的存在性对任意 $q$ 均成立，且 $k_0(2) = 105$，与经典情形相同。
• 该方法确保：对任意在 $\mathbb{F}_q[t]$ 中容许的 $k$-元组（$k \geq k_0$），存在无穷多个 $f \in \mathbb{F}_q[t]$，使得 $f + h_i$ 中至少有 $m$ 个为不可约多项式，且 $k_0$ 与 $q$ 无关。