[论文解读] Bounded geometry and leaves

Jesús A. Álvarez López, Ramón Barral Lijó|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用 9

一句话总结

本文证明了任意完备、连通的有界几何 Riemann 流形均可等距嵌入为一个紧致 Riemann 谱系空间中的叶，且该叶的 holonomy 为平凡。作者利用到可分 Hilbert 空间中的 $C^\infty$-收敛序列，构造了一个通用空间 $\overline{\mathcal{M}}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$，证明了其为 Polish 拓扑且闭包紧致，并表明典范映射 $\hat{\imath}_{M,f}$ 的像在紧致谱系子空间中是一片具有平凡 holonomy 的叶，从而证明了有界几何流形可实现为这类叶的主定理。

ABSTRACT

The main theorem states that any complete connected Riemannian manifold of bounded geometry can be isometrically realized as a leaf with trivial holonomy in a compact Riemannian foliated space.

研究动机与目标

• 证明每个完备、连通的有界几何 Riemann 流形均可作为具有平凡 holonomy 的叶出现在一个紧致 Riemann 谱系空间中。
• 利用到 Hilbert 空间中的 $C^\infty$-收敛序列，构造一个通用参数空间 $\overline{\mathcal{M}}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$。
• 证明典范映射 $\hat{\imath}_{M,f}$ 的像的闭包是紧致的，并构成一个 Riemann 谱系子空间。
• 证明在适当选择浸入 $f$ 的条件下，叶 $\widehat{\imath}_{M,f}(M)$ 的 holonomy 为平凡。
• 通过提供一个完整且严谨的证明，解决了几何分析中的一个开放问题，即有界几何流形的长期猜想实现定理。

提出的方法

• 将空间 $b\mathcal{M}^*_*(n)$ 定义为：配备到可分 Hilbert 空间 $E$ 的 $C^\infty$-映射的完备、连通 $n$-维 Riemann 流形的等距类，模去基点等距与拉回等价关系。
• 通过局部嵌入下在紧致区域上度量与映射的拉回收敛性，引入 $b\mathcal{M}^*_*(n)$ 上的 $C^m$-拓扑。
• 证明 $b\mathcal{M}^*_*(n)$ 上的 $C^\infty$-收敛拓扑为 Polish 拓扑，从而保证完备性与可分性。
• 通过将每一点映射为其 $C^\infty$-等价类，构造典范映射 $\hat{\imath}_{M,f}: M \to b\mathcal{M}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$。
• 证明当 $M$ 具有有界几何时，$\overline{\text{Cl}}^\infty(\widehat{\imath}_{M,f}(M))$ 在 $b\mathcal{M}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$ 中是紧致的。
• 通过确保叶的 holonomy 群为平凡，证明图像 $\widehat{\imath}_{M,f}(M)$ 是紧致谱系子空间 $\overline{\text{Cl}}^\infty(\widehat{\imath}_{M,f}(M))$ 中的一片具有平凡 holonomy 的叶。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个完备、连通的有界几何 Riemann 流形都可实现为紧致 Riemann 谱系空间中具有平凡 holonomy 的叶？
• RQ2 典范映射 $\widehat{\imath}_{M,f}$ 的像的闭包是否在通用空间 $b\mathcal{M}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$ 的 $C^\infty$-拓扑中是紧致的？
• RQ3 是否可选择浸入 $f$，使得叶 $\widehat{\imath}_{M,f}(M)$ 的 holonomy 群为平凡？
• RQ4 是否存在一种有限值装饰，作用于有界几何图的 Cayley 图，使得其在闭包中的所有像的自同构群均为平凡？
• RQ5 是否可为通用空间 $b\mathcal{M}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$ 赋予 $C^\infty$-谱系结构，使得 $\widehat{\imath}_{M,f}$ 的像成为一片叶？

主要发现

• 在 $b\mathcal{M}^*_*(n)$ 上的 $C^\infty$-收敛拓扑为 Polish 拓扑，保证了完备性与可分性，这是 Riemann 流形收敛理论中的非平凡结果。
• 当且仅当流形 $M$ 具有有界几何时，$\overline{\text{Cl}}^\infty(\widehat{\imath}_{M,f}(M))$ 在 $b\mathcal{M}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$ 中是紧致的。
• $\widehat{\imath}_{M,f}(M)$ 是 $M$ 到 $b\mathcal{M}^\infty_{*,\text{imm}}(n)$ 中一个紧致 Riemann 谱系子空间的等距嵌入，且其诱导了谱系结构。
• 若浸入 $f$ 的选择满足：对所有 $[N,h,y]$ 属于 $\widehat{\imath}_{M,f}(M)$ 的闭包，均有 $\text{Iso}(N,h) = \{\text{id}\}$，则叶 $\widehat{\imath}_{M,f}(M)$ 的 holonomy 为平凡。
• 主定理得证：每个完备、连通的有界几何 Riemann 流形均可等距实现为一个紧致 Riemann 谱系空间中具有平凡 holonomy 的叶。
• 该构造具有通用性，依赖于通过具有一致有界导数与非零体积形式的 $C^\infty$-嵌入 $f$ 将 $M$ 嵌入 Hilbert 空间，从而确保图像在通用空间中为一确定的叶。