[论文解读] Bounded homeomorphisms of the open annulus

David Richeson, Jim Wiseman|ArXiv.org|Sep 23, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文将Poincaré-Birkhoff定理推广至开环形区域上有界同胚的情形，证明若满足扭转条件且非游荡集连通，则存在不动点。该研究建立了非紧空间上有界映射的不动点定理，通过有理旋转数证明周期点的存在性，并利用提升动力系统与万有覆盖上的旋转数，将紧致情形的结果推广至非紧致情形。

ABSTRACT

We prove a generalization of the Poincaré-Birkhoff theorem for the open annulus showing that if a homeomorphism satisfies a certain twist condition and the nonwandering set is connected, then there is a fixed point. Our main focus is the study of bounded homeomorphisms of the open annulus. We prove a fixed point theorem for bounded homeomorphisms and study the special case of those homeomorphisms possessing at most one fixed point. Lastly we use the existence of rational rotation numbers to prove the existence of periodic orbits.

研究动机与目标

• 将Poincaré-Birkhoff定理推广至开环形区域上有界同胚的情形，其中紧致性不成立。
• 建立非紧空间上有界映射的不动点定理，特别是针对开环形区域，尽管无法保持测度不变。
• 分析具有至多一个不动点的有界同胚的动力学行为并加以刻画。
• 通过有理旋转数证明周期轨道的存在性，将Franks的结果推广至开环形区域上有界映射。
• 通过将闭环形区域上的映射延拓为有界开环形区域上的映射，利用紧致全局吸引子，统一开环形与闭环形区域的结果。

提出的方法

• 在万有覆盖 $\tilde{A} = \mathbb{R} \times I$ 上使用提升动力系统，通过极限 $\rho(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}(\tilde{f}^n(y) - y)_1 \mod 1$ 定义旋转数。
• 通过存在一个前向不变的紧致窗口 $W$ 使得对所有 $x$ 有 $\omega(x) \subset W$，来定义有界同胚。
• 通过反证法证明不动点的存在性：若不存在不动点，则 $\tilde{f}^n(y)_1 \to \pm\infty$ 在 $\tilde{\Lambda} = \pi^{-1}(\omega(\pi(x)))$ 上一致成立，与扭转条件矛盾。
• 应用扭转条件与连通非游荡集，排除旋转数极限中 $+\infty$ 与 $-\infty$ 的发散。
• 使用平移提升 $T(x,y) = (x+1,y)$ 将周期点存在性问题转化为 $\tilde{g} = T^{-p} \circ \tilde{f}^q$ 上的不动点问题。
• 通过添加小邻域将有界同胚从闭环形区域延拓至开环形区域，以保持动力学性质并避免产生新的周期点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，开环形区域上有界同胚存在不动点？
• RQ2 当测度无法保持时，Poincaré-Birkhoff定理能否推广至非紧致情形？
• RQ3 具有至多一个不动点的有界同胚具有哪些动力学特征？
• RQ4 在有界环形同胚中，若某点具有有理旋转数，是否能保证存在具有相同旋转数的周期点？
• RQ5 在非紧致环形动力系统中，有界性与前向不变性如何影响旋转数的行为？

主要发现

• 若开环形区域上有界同胚满足扭转条件且非游荡集连通，则至少存在一个不动点。
• 非紧空间上有界同胚无法保持勒贝格测度，因其具有紧致全局吸引子。
• 对任意有界、保向的开或闭环形区域同胚（同伦于恒等映射），若归一化位移的下极限与上极限包含有理数 $p/q$，则存在旋转数为 $p/q$ 的周期点。
• 某点具有有理旋转数意味着存在具有相同旋转数的周期点，即使在开环形区域中也成立。
• 通过将闭环形区域上的映射延拓为开环形区域邻域上的有界同胚，可恢复闭环形区域的结果，且周期点得以保持。
• 若 $\tilde{f}$ 无不动点，则 $\tilde{f}^n(y)_1 \to \pm\infty$ 在 $\omega$-极限集上一致成立，当非游荡集连通时，这与扭转条件矛盾。