[论文解读] Bounded hyperbolic components of bicritical rational maps

Hongming Nie, Kevin M. Pilgrim|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文证明了双临界有理映射的双曲分支——即具有两个不同吸引周期且每个周期至少为二的分支——在模空间中是有界的。通过非阿赋米德动力系统中的算术方法，特别是贝里科维奇空间动力系统与精化法图-篠桐不等式，作者在假设其无界的情况下导出矛盾，从而确立了此类分支的紧致闭包。

ABSTRACT

We prove that the hyperbolic components of bicritical rational maps having two distinct attracting cycles each of period at least two are bounded in the moduli space of bicritical rational maps. Our arguments rely on arithmetic methods.

研究动机与目标

• 确定具有两个不同周期至少为二的吸引周期的双临界有理映射的双曲分支在模空间中是否为有界的。
• 将埃普斯坦对二次严格型D分支的有界性结果推广至高次双临界映射。
• 利用算术与非阿赋米德动力系统方法，确立此类双曲分支的紧致闭包。
• 通过全纯族与贝里科维奇空间中的重标度极限，分析退化序列。

提出的方法

• 利用全纯单参数族 $ f_t $，其中 $ t \to 0 $，来建模退化过程，借助双曲分支的半代数结构。
• 应用贝里科维奇空间动力系统研究 $ f_t $ 在 $ t \to 0 $ 时的渐近行为，通过II型排斥周期点识别重标度极限。
• 运用里韦拉-莱特利耶在非阿赋米德动力系统中关于临界轨道行为的算术结果，对极限映射 $ g $ 的动力系统施加约束。
• 利用精化法图-篠桐不等式，排除单临界多项式中存在多个非排斥周期点的可能性。
• 分析贝里科维奇动力系统中周期法图分支及其边界结构，在假设无界性下导出矛盾。
• 对极限周期点 $ \tilde{z} $ 和 $ \tilde{w} $ 进行分类讨论，根据其与朱利亚集及唯一固定里韦拉域边界的交集关系区分不同情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，双临界有理映射的双曲分支在模空间中是有界的？
• RQ2 能否通过算术方法将埃普斯坦在二次情形下基于解析方法的有界性结果推广至高次双临界映射？
• RQ3 在非阿赋米德动力系统中，两个有界乘子的双曲分支对重标度极限的动力系统施加何种约束？
• RQ4 从退化全holomorphic族导出的重标度极限 $ g $ 的动力系统，如何约束极限中临界点的行为？
• RQ5 双临界映射是否可能同时具有两个不同的非不动点吸引周期，却仍位于无界双曲分支中？

主要发现

• 双临界有理映射具有两个不同周期至少为二的吸引周期的双曲分支 $ \newcommand{\bH}{\mathcal{H}} \mathcal{H} \subset \mathcal{M}_d $ 在 $ \mathcal{M}_d $ 中具有紧致闭包。
• 两个不同周期的有界乘子的存在，迫使重标度极限 $ g $ 满足其临界点上过约束的动力系统条件。
• 在所有退化情形下，极限映射 $ g $ 的动力系统均与精化法图-篠桐不等式矛盾，该不等式允许单临界多项式中至多存在一个非排斥周期点。
• 分析表明，极限中两个不同的非排斥周期点无法共存，否则将违反单临界多项式中非排斥周期点的唯一性。
• 当两个周期点均退化至同一抛物点时，导致矛盾，因为该点的重数为三，违反了精化FSI中的计数规则。
• 该证明通过贝里科维奇动力系统、算术约束与精化法图-篠桐不等式的相互作用，表明 $ \mathcal{H} $ 是有界的，因为任何退化序列均导致矛盾。