[论文解读] Bounded, minimal, and short representations of unit interval and unit circular-arc graphs

Francisco J. Soulignac|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 26被引用 8

一句话总结

本文提出了单位区间图（UIG）和单位圆弧图（UCA）图的有界、最小化及短表示的高效算法。它提出了一种线性时间算法并带有负向认证，用于解决无限制表示问题；一种O(n²)时间复杂度的算法用于有界表示问题；以及一种多项式时间算法，用于计算同时最小化周长和弧长的最小模型，解决了几何图表示中的开放问题，并实现了路径与环的最小幂次的高效计算。

ABSTRACT

We consider the unrestricted, minimal, and bounded representation problems for unit interval (UIG) and unit circular-arc (UCA) graphs. In the unrestricted version, a proper circular-arc (PCA) model $\cal M$ is given and the goal is to obtain an equivalent UCA model $\cal U$. We show a linear time algorithm with negative certification that can also be implemented to run in logspace. In the bounded version, $\cal M$ is given together with some lower and upper bounds that the beginning points of $\cal U$ must satisfy. We develop a linear space $O(n^2)$ time algorithm for this problem. Finally, in the minimal version, the circumference of the circle and the length of the arcs in $\cal U$ must be simultaneously as minimum as possible. We prove that every UCA graph admits such a minimal model, and give a polynomial time algorithm to find it. We also consider the minimal representation problem for UIG graphs. As a bad result, we show that the previous linear time algorithm fails to provide a minimal model for some input graphs. We fix this algorithm but, unfortunately, it runs in linear space $O(n^2)$ time. Finally, we apply the minimal representation algorithms so as to find the minimum powers of paths and cycles that contain a given UIG and UCA models, respectively.

研究动机与目标

• 通过将给定的正规圆弧模型转换为等价的单位表示，解决UIG和UCA图的无限制表示问题。
• 通过在弧起点位置上引入下界和上界，解决有界表示问题，确保在指定约束下可行。
• 开发一种多项式时间算法，用于计算同时最小化周长和弧长的最小UCA和UIG模型。
• 解决计算包含给定UIG和UCA模型的最小路径与环幂次的开放问题。
• 通过修正先前用于最小UIG模型的有缺陷的线性时间算法，并提供一个正确的O(n²)时间解法，扩展了先前工作。

提出的方法

• 为无限制表示问题开发了一种具有负向认证的线性时间算法，该算法还可实现为对数空间，利用弧位置的保序变换。
• 对于有界表示问题，算法对弧起点施加整数边界，并采用基于约束的方法，以在长度和位置约束下保持等价性。
• 通过在可能的弧长上进行二分查找，并对周长值进行线性扫描，以计算最小UCA模型，其正确性基于基于描述符的弧分离方法。
• 通过使用Bellman-Ford算法在差分图中计算最短路径，修正了最小UIG模型的计算方法，确保弧长和周长最小化。
• 最小UCA模型的算法使用描述符系统，强制弧的起始点与终点之间保持最小间隔，可推广至任意间隔函数。
• 本文证明了每个UCA图都存在一个最小模型，并提供了构造性算法来计算该模型，其正确性通过等价性与最小性条件验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 UIG和UCA图的无限制表示问题能否在O(n)时间内通过负向认证求解，且是否可实现为对数空间？
• RQ2 是否存在一种高效算法用于有界表示问题，以尊重给定的弧起点位置下界与上界？其时间复杂度如何？
• RQ3 每个UCA图是否都存在一个最小模型，同时最小化周长与弧长？该模型能否在多项式时间内计算？
• RQ4 为何经典的UIG表示线性时间算法无法生成最小模型？如何修正？
• RQ5 能否利用UIG与UCA图的最小表示来计算包含给定图的最小路径与环的幂次？

主要发现

• 为无限制表示问题提供了一种具有负向认证的线性时间算法，且可实现为对数空间，优于先前方法。
• 为弧起点位置施加整数边界的有界表示问题开发了一种O(n²)时间复杂度的算法，解决了此前未处理的变体。
• 每个UCA图都存在一个最小模型，同时最小化周长与弧长，且该模型可在多项式时间内计算。
• 先前已知的用于最小UIG模型表示的线性时间算法被证明存在缺陷，本文提供了修正版本，时间复杂度为O(n²)。
• 最小表示算法可实现对包含给定UIG或UCA图的最小路径与环幂次的计算。
• 本文指出，最小UCA模型可能不唯一，且一个UCA图可能拥有指数级多个非等价的最小模型，因此计算全局最优最小模型的问题仍待解决。