[论文解读] Boundedness and stabilization in a three-dimensional two-species chemotaxis-Navier--Stokes system with competitive kinetics

Misaki Hirata, Shunsuke Kurima+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2017

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一句话总结

本文建立了具有Lotka--Volterra竞争动力学的三维双物种趋化-Navier--Stokes系统弱解的全局存在性，证明了其最终光滑性及对平衡态的收敛性。通过正则化逼近与抛物型正则化，作者克服了三维中经典解缺失的问题，展示了解在 $ t \to \infty $ 时收敛至 $ C^1(\overline{\Omega}) $ 中的光滑解。关键结果为：根据竞争系数的不同，系统会稳定至共存或排斥平衡态。

ABSTRACT

This paper is concerned with the 3-dimensional two-species chemotaxis-Navier--Stokes system with Lotka--Volterra competitive kinetics under homogeneous Neumann boundary conditions and initial conditions. Recently, in the 2-dimensional setting, global existence and stabilization of classical solutions to the above system were first established. However, the 3-dimensional case has not been studied: Because of difficulties in the Navier--Stokes system, we can not expect existence of classical solutions to the above system. The purpose of this paper is to obtain global existence of weak solutions to the above system, and their eventual smoothness and stabilization.

研究动机与目标

• 解决在具有竞争性Lotka--Volterra动力学的三维双物种趋化-Navier--Stokes系统中经典解全局存在性结果的缺失问题。
• 克服Navier--Stokes项与趋化项在三维中导致经典解不存在的固有困难。
• 建立弱解的全局存在性及其最终光滑性与对平衡态的收敛性。
• 分析在不同竞争参数区域下解的长时间行为。

提出的方法

• 对Navier--Stokes方程应用抛物型正则化，对趋化项与反应项进行时间正则化。
• 采用Galerkin逼近方法在正则化设定下构造近似解。
• 通过能量估计与插值，建立 $ n_1 $、$ n_2 $ 与 $ c $ 在 $ L^p $-空间中的统一有界性，以及 $ u $ 在 $ W^{1,2} $-空间中的统一有界性。
• 运用最大 $ L^p $-正则性理论与Schauder型估计，推导近似解的高阶正则性。
• 利用紧致性论证与子列收敛性，从正则化逼近中提取极限解。
• 应用先验估计与收敛性论证，证明极限解在 $ t \to \infty $ 时成为光滑解，并在 $ C^1(\overline{\Omega}) $ 中收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管经典解不存在，是否可为具有竞争动力学的三维双物种趋化-Navier--Stokes系统构造全局弱解？
• RQ2 所构造的弱解在长时间范围内的行为如何？其光滑性与收敛性如何？
• RQ3 系统是否表现出对平衡态的稳定性？若然，其条件如何依赖于竞争系数 $ a_1 $ 与 $ a_2 $ ？
• RQ4 趋化项与流体动力学项如何相互作用，以影响三维中解的有界性与正则性？
• RQ5 正则化逼近方法能否产生最终光滑且收敛至稳态的解？

主要发现

• 建立了具有竞争动力学的三维双物种趋化-Navier--Stokes系统弱解的全局存在性。
• 所构造的弱解最终光滑，属于 $ C^{2+\alpha',1+\alpha'/2}(\overline{\Omega} \times [T_0, \infty)) $，其中 $ T_0 > 0 $ 且 $ \alpha' \in (0,1) $。
• 当 $ t \to \infty $ 时，解在 $ C^1(\overline{\Omega}) $ 中稳定：$ n_1(\cdot,t) \to N_1 $，$ n_2(\cdot,t) \to N_2 $，$ c(\cdot,t) \to 0 $，$ u(\cdot,t) \to 0 $，当 $ a_1, a_2 \in (0,1) $ 时成立。
• 当 $ a_1 \geq 1 > a_2 > 0 $ 时，解稳定至 $ n_1(\cdot,t) \to 0 $，$ n_2(\cdot,t) \to 1 $，$ c(\cdot,t) \to 0 $，$ u(\cdot,t) \to 0 $，在 $ C^1(\overline{\Omega}) $ 中成立。
• 对所有 $ t > T $，获得了 $ n_1 $、$ n_2 $ 与 $ c $ 的 $ L^p $-范数以及 $ u $ 的 $ W^{1,2} $-范数的统一有界性，且与正则化参数 $ \varepsilon $ 无关。
• 在紧致时间区间 $[t, t+1]$ 上，正则化解在 $ C^{1+\alpha', \alpha'/2} $-范数下收敛至极限解，其中 $ t > T_0 $，确保了解的最终光滑性。