[论文解读] Boundedness for a nonlocal reaction chemotaxis model even in the attraction-dominated regime

Tongxing Li, Giuseppe Viglialoro|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2020

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 33被引用 14

一句话总结

该论文在 $ n \geq 3 $ 的 $ \ceil{\mathbb{R}}^n $ 上建立了具有非线性扩散和非线性生成/消耗项的非局部反应-扩散趋化模型解的全局存在性与一致有界性。尽管初始质量任意大且扩散系数极小（$ m > 0 $），当反应指数满足 $ \alpha + \beta > \text{某个可计算的阈值} $ 时，解在时间上保持一致有界，即使在吸引占主导的区域也避免了爆破。

ABSTRACT

This work deals with a parabolic chemotaxis model with nonlinear diffusion and nonlocal reaction source. The problem is formulated on the whole space and, depending on a specific interplay between the coefficients associated to such diffusion and reaction, we establish that all given solutions are uniformly bounded in time.

研究动机与目标

• 研究具有非线性扩散和非线性生成/消耗项的非局部吸引-排斥趋化系统中解的全局可解性与有界性。
• 确定在初始质量大且扩散弱的情况下，何种条件下可避免解的爆破。
• 通过引入非线性生成项和非局部反应项，将先前关于Keller–Segel型模型有界性的结果加以推广。
• 建立反应指数 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 的阈值条件，以保证对所有 $ m > 0 $ 和 $ \eta > 0 $，解具有一致有界性和全局存在性。

提出的方法

• 构建一个带有非线性扩散 $ \Delta \rho^m $、通过 $ \nabla \cdot (\rho \nabla (|x|^{2-n} * \rho)) $ 实现的非局部吸引项，以及非线性生成项（$ a\rho^\eta $）和非线性消耗项（$ -b\rho^\alpha \int \rho^\beta dx $）的抛物型趋化模型。
• 采用递推的 $ L^p $-范数估计技术，利用趋于无穷的序列 $ p_k \to \infty $ 来控制解的 $ L^\infty $-范数。
• 运用能量型不等式和插值估计，控制 $ L^p $-范数的增长，利用扩散、反应与非局部相互作用之间的协同效应。
• 使用改进的Gagliardo–Nirenberg型不等式，并引入辅助序列 $ M_k = \|\rho(\cdot,t)\|_{L^{p_k}} $，通过递推界控制 $ L^\infty $-范数。
• 应用可延拓性准则，当 $ L^\infty $-范数一致有界时，得出 $ T_{\max} = \infty $。
• 确立关键条件 $ \alpha + \beta > \frac{2\eta l - ml - 2\eta}{l - 2} $（其中 $ l $ 与 $ p_k $ 相关）作为一致有界的充分条件，且该条件与初始质量无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 在反应指数 $ \alpha $、$ \beta $ 和 $ \eta $，以及扩散参数 $ m $ 满足何种条件时，即使初始质量极大，非局部趋化模型中具有非线性扩散和生成/消耗项的解仍能保持一致有界？
• RQ2 当 $ m $ 可任意小时且初始质量极大时，是否仍可在吸引占主导的区域避免爆破？
• RQ3 与经典Keller–Segel模型相比，非线性生成项（$ a\rho^\eta $）和非局部消耗项（$ -b\rho^\alpha \int \rho^\beta dx $）的引入如何影响系统的全局可解性？
• RQ4 是否存在一个可计算的 $ \alpha + \beta $ 阈值，使得对所有 $ m > 0 $ 和 $ \eta > 0 $，系统均保证全局存在性与一致有界性？
• RQ5 非线性反应项在多大程度上能稳定系统，防止在强吸引条件下发生有限时间爆破？

主要发现

• 对于所有 $ n \geq 3 $，只要 $ \alpha + \beta > \text{一个依赖于 } m, \eta, \text{ 和 } n \text{ 的可计算表达式} $，非局部趋化模型的解在时间上保持一致有界，且与初始质量无关。
• 即使 $ m $ 可任意小且 $ \eta > 0 $，只要满足相同的 $ \alpha + \beta $ 条件，全局存在性（$ T_{\max} = \infty $）仍可保证。
• 解的 $ L^\infty $-范数被一致有界于 $ C = \max\{\|\rho_0\|_{L^\infty}, \|\rho_0\|_{L^1}\} $，确保不会发生爆破。
• 该结果推广了先前对 $ a = b = 0 $ 情形（仅含扩散与非局部相互作用）的有界性结果，包括排斥情形（$ m > 0 $）和小初值下的吸引情形。
• 分析结果表明，非线性生成与非局部消耗项可稳定系统，即使在强吸引条件下也能防止爆破。
• 证明依赖于 $ p_k \to \infty $ 的递推 $ L^p $-范数估计，表明在所述 $ \alpha + \beta $ 条件下，有 $ \|\rho(\cdot,t)\|_{L^\infty} \leq C $ 对所有时间一致成立。