[论文解读] Boundedness of Operators in Bilateral Grand Bebesgue Spaces with Exact and Weakly Exact Constant Calculation

E. Ostrovsky L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 17被引用 24

一句话总结

本文在双边广义勒贝格空间（GLS）中建立了傅里叶、极大和嵌入算子等算子的精确与弱精确界，引入了各向异性GLS并计算了博伊德的多维指标。研究推导了加权傅里叶不等式的精确常数，并提供了带有显式范数估计的插值定理，通过精确例子和渐近分析加以验证。

ABSTRACT

In this article we investigate an action of some operators (not necessary to be linear or sublinear) in the so-called (Bilateral) Grand Lebesgue Spaces (GLS), in particular, double weight Fourier operators, maximal operators, imbedding operators etc. We intend to calculate an exact or at least weak exact values for correspondent imbedding constant. We obtain also interpolation theorems for GLS spaces.We construct several examples to show the exactness of offered estimations. In two last sections we introduce anisotropic Grand Lebesgue Spaces, obtain some estimates for Fourier two-weight inequalities and calculate Boyd's multidimensional indices for this spaces.

研究动机与目标

• 在双边广义勒贝格空间（GLS）中建立非线性和次线性算子（如傅里叶、极大和嵌入算子）的精确或弱精确界。
• 在广义勒贝格空间中计算加权傅里叶变换不等式的精确常数，特别是多维和各向异性的设定。
• 引入并分析各向异性广义勒贝格空间，计算其博伊德多维指标，这对插值和算子有界性至关重要。
• 推导GLS的插值定理，给出精确的范数估计，并通过构造的例子验证边界的精确性。
• 将经典不等式（如哈代-利特尔伍德、索博列夫、希尔伯特不等式）推广到GLS框架，给出精确或渐近精确的常数。

提出的方法

• 采用矩不等式条件（A），其中算子范数满足 $ |Uf|_{q(p)} \leq K(p) |f|_p $，对 $ p \in (a,b) $，且 $ K(p) $ 定义为算子范数 $ |U|_{L_p \to L_{q(p)}} $。
• 应用重排不变（r.i.）空间理论和加权范数不等式，特别是穆肯霍普理论，推导傅里叶和积分算子的界。
• 通过多维伸缩算子 $ \Delta_{s,t}[f](x,y) = f(x/s, y/t) $ 引入各向异性GLS，将博伊德指标定义为 $ \overline{\alpha}(G\psi_D) = 1/a $，$ \underline{\alpha}(G\psi_D) = 1/b $ 等。
• 利用条件 $ \frac{\beta_j - \alpha_j}{m_j} = 1 - \frac{1}{p_j} - \frac{1}{q_j} $ 推导两权傅里叶不等式的精确估计，常数满足 $ C_5 \leq K \leq C_6 $。
• 将插值理论应用于GLS，证明当 $ p > p_0 $ 时，有 $ K(p) \asymp \left[ \frac{p}{p - p_0} \right]^{\max(1, 1/p_0 + 1/q_0)} $，其中 $ p_0 = (n + \mu)/(n - \beta) $。
• 利用范数等价性和矩不等式验证精确性，构造出等式或紧界成立的例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在双边广义勒贝格空间中，傅里叶、极大和嵌入算子的算子范数 $ K(p) $ 的精确或弱精确值是什么？
• RQ2 如何计算各向异性广义勒贝格空间的博伊德多维指标？其在算子有界性中起什么作用？
• RQ3 在GLS中，两权傅里叶不等式的精确常数是什么？它们如何依赖于参数 $ \alpha, \beta, \mu, \lambda $？
• RQ4 能否在GLS中建立带有显式、定量的算子范数界估计的插值定理？
• RQ5 在什么条件下，不等式 $ \left| |x|^{-\alpha} F[f] \right|_{q,-\lambda} \leq K_{\lambda,\mu}(p) \left| |x|^\beta f \right|_{p,\mu} $ 成立，并具有精确的渐近行为？

主要发现

• 本文证明，对于傅里叶变换，精确常数为 $ A(p) = \left[ \frac{p^{1/p}}{p_1^{1/p_1}} \right]^{n/2} $，其中 $ p_1 = p/(p-1) $，对 $ p \in (1,2] $ 成立。
• 对于希尔伯特变换，精确常数为 $ \Lambda(p) = \tan(\pi/(2p)) $，当 $ 1 < p \leq 2 $ 时；当 $ 2 < p < \infty $ 时为 $ \cot(\pi/(2p)) $，由皮乔里德斯证明。
• 对于瑞斯势，精确常数为 $ K_S(p) = \pi^{s/2} \cdot \frac{\Gamma((n-s)/2)}{\Gamma((n+s)/2)} \cdot \left\{ \frac{\Gamma(s)}{\Gamma(n/2)} \right\}^{s/n} $，对 $ 0 < s < n $，$ 1 < p < n/s $，且 $ q = \frac{pn}{n - sp} $ 成立。
• 在各向异性GLS中，两权傅里叶不等式的精确性条件为 $ \frac{\beta_j - \alpha_j}{m_j} = 1 - \frac{1}{p_j} - \frac{1}{q_j} $，常数满足 $ C_5 \leq K \leq C_6 $，其中 $ C_5, C_6 $ 依赖于 $ \vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{m} $。
• 各向异性GLS的博伊德指标计算为 $ \overline{\alpha} = 1/a $，$ \underline{\alpha} = 1/b $，$ \overline{\beta} = 1/c $，$ \underline{\beta} = 1/d $，基于伸缩算子的行为。
• 对于加权 $ L_p $ 范数 $ |g|_{p,\mu} = \left[ \int |g(x)|^p |x|^\mu dx \right]^{1/p} $，算子范数满足 $ C_1 [p/(p - p_0)]^{1/q_0 + 1/p_0} \leq K_{\lambda,\mu}(p) \leq C_2 [p/(p - p_0)]^{\max(1, 1/q_0 + 1/p_0)} $，其中 $ p_0 = (n + \mu)/(n - \beta) $。