[论文解读] Boundedness of solutions in impulsive Duffing equations with polynomial potentials and $C^{1}$ time dependent coefficients

Yanmin Niu, Xiong Li|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2017

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 9被引用 4

一句话总结

该论文在存在1-周期脉冲效应且 $ t_2 - t_1 \neq \frac{1}{2} $ 的条件下，建立了具有多项式势能和 $ C^1 $ 时间依赖系数的脉冲Duffing方程解的有界性。通过将变换后的哈密顿系统应用于大扭转定理，证明了存在与圆微分同胚的大不变曲线，这些曲线包围解并确保其有界性和拟周期性。该结果将先前的有界性定理推广至脉冲存在时系数光滑性要求更低的情形。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with the impulsive Duffing equation $$ x''+x^{2n+1}+\sum_{i=0}^{2n}x^{i}p_{i}(t)=0,\ t eq t_{j}, $$ with impulsive effects $x(t_{j}+)=x(t_{j}-),\ x'(t_{j}+)=-x'(t_{j}-),\ j=\pm1,\pm2,\cdots$, where the time dependent coefficients $p_i(t)\in C^1(\mathbb{S}^1)\ (n+1\leq i\leq 2n)$ and $p_i(t)\in C^0(\mathbb{S}^1)\ (0\leq i\leq n)$ with $\mathbb{S}^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$. If impulsive times are 1-periodic and $t_{2}-t_{1} eq\frac{1}{2}$ for $0< t_{1}

研究动机与目标

• 研究具有多项式非线性和时变系数的脉冲Duffing方程中解的有界性。
• 在系数光滑性假设更弱的条件下，扩展先前的有界性结果，特别是针对高阶项。
• 分析脉冲效应对解动力学的影响，尤其当脉冲为1-周期且非对称（$ t_2 - t_1 \neq \frac{1}{2} $）时。
• 通过相空间中的不变曲线建立拟周期解存在的证明。

提出的方法

• 通过辛变量变换将脉冲Duffing方程转化为哈密顿系统。
• 将近期由Li、Liu和Sun建立的大扭转定理应用于流的时间-1映射，构造出与圆微分同胚的大不变曲线。
• 利用脉冲时间的对称性和周期性（$ t_{j+2} = t_j + 1 $）确保扭转映射定义良好并满足所需的扭转条件。
• 证明不变曲线可延伸至无穷远并包围原点，从而将所有解限制在其内部。
• 通过证明壳函数 $ \Psi(\omega t, t) $ 关于频率 $ (1, \omega) $ 为拟周期，建立解的拟周期性。
• 对迭代映射 $ P^m $ 应用Poincaré-Birkhoff不动点定理，证明任意最小周期 $ q $ 的周期解存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种系数 $ p_i(t) $ 条件下，脉冲Duffing方程仅存在有界解？
• RQ2 具有1-周期定时和非对称间距（$ t_2 - t_1 \neq \frac{1}{2} $）的脉冲效应如何影响解的有界性？
• RQ3 在具有 $ C^1 $-光滑高阶系数和连续低阶系数的脉冲Duffing方程中，能否保证存在拟周期解？
• RQ4 系数的光滑性在多大程度上影响脉冲系统中解的有界性？

主要发现

• 当 $ p_i(t) \in C^1(\mathbb{S}^1) $ 对于 $ n+1 \leq i \leq 2n $ 且 $ p_i(t) \in C^0(\mathbb{S}^1) $ 对于 $ 0 \leq i \leq n $，在 $ t_2 - t_1 \neq \frac{1}{2} $ 的1-周期脉冲条件下，脉冲Duffing方程的所有解均为有界解。
• 在相空间中存在大不变曲线，其与圆微分同胚且可延伸至无穷远，所有解均被限制在其内部。
• 起始于这些不变曲线上的解尽管受脉冲引入的分段连续性影响，仍为关于频率 $ (1, \omega) $ 的拟周期解。
• 流的时间-1映射具有扭转映射结构，使得可应用大扭转定理以证明有界性。
• 对每个整数 $ q \geq 1 $，均存在最小周期为 $ q $ 的周期解，该结论通过在 $ P^m $ 上应用Poincaré-Birkhoff定理得到证明。
• 结果表明，即使存在脉冲扰动，有界性仍可在比以往要求更低的光滑性条件下保持。