[论文解读] Bounding extensions for finite groups and Frobenius kernels

Christopher P. Bendel, Daniel K. Nakano+4 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文建立了有限李型群 $G(\sigma)$ 及其弗罗贝尼乌斯核 $G_\sigma$ 的上同调与卡坦不变量的统一、特征无关的界，其中 $\sigma$ 是代数群 $G$ 上的一个严格自同态，$G$ 是代数闭域上一个单连通的代数群。这些界仅依赖于根系 $\Phi$ 和 $\sigma$ 的高，为赫斯关于这些群的卡坦不变量统一有界性问题提供了强有力的肯定回答。

ABSTRACT

Let G be a simple, simply connected algebraic group defined over an algebraically closed field k of positive characteristic p. Let σ:G->G be a strict endomorphism (i. e., the subgroup G(σ) of σ-fixed points is finite). Also, let G_σ be the scheme-theoretic kernel of σ, an infinitesimal subgroup of G. This paper shows that the degree m cohomology H^m(G(σ),L) of any irreducible kG(σ)-module L is bounded by a constant depending on the root system Φ of G and the integer m. A similar result holds for the degree m cohomology of G_σ. These bounds are actually established for the degree m extension groups Ext^m_{G(σ)}(L,L') between irreducible kG(σ)-modules L and L', with again a similar result holding for G_σ. In these Ext^m results, of interest in their own right, the bounds depend also on L, or, more precisely, on length of the p-adic expansion of the highest weight associated to L. All bounds are, nevertheless, independent of the characteristic p. These results extend earlier work of Parshall and Scott for rational representations of algebraic groups G. We also show that one can find bounds independent of the prime for the Cartan invariants of G(σ) and G_σ, and even for the lengths of the underlying PIMs. These bounds, which depend only on the root system of G and the "height" of σ, provide in a strong way an affirmative answer to a question of Hiss, for the special case of finite groups G(σ) of Lie type in the defining characteristic.

研究动机与目标

• 为任意不可约 $kG(\sigma)$-模 $L$ 的第 $m$ 个上同调 $\operatorname{H}^m(G(\sigma), L)$ 建立统一、特征无关的界。
• 将帕拉夏尔与斯科特关于有理表示的早期结果，推广到定义特征下的有限李型群情形。
• 证明 $G(\sigma)$ 与 $G_\sigma$ 的卡坦不变量及 PIM 长度均与素数 $p$ 无关地有界。
• 解决赫斯关于有限李型群卡坦不变量统一有界性问题的一个特例。

提出的方法

• 利用代数群 $G$ 的严格自同态 $\sigma$ 来定义有限群 $G(\sigma)$ 与无穷小核 $G_\sigma$。
• 应用 $G_r$-模与斯坦贝格模的理论，分析投射覆盖与合成因子。
• 借助张量积 $L(\mu_0) \otimes L(\mu_1)^{(\sigma)}$ 的 $G$-合成因子结构，来控制 $G(\sigma)$-合成因子。
• 通过 $p^r$-限制迭代降低权，以控制 PIM 中 $G(\sigma)$-合成因子的数量。
• 利用引理 4.1.1，对满足 $\mu_1 <_Q 2\rho$ 的情形，建立 $L(\mu_0) \otimes L(\mu_1)$ 中 $G$-合成因子数量的界，且该界与 $p$ 无关。
• 通过分析 $G_r$-投射模在 $G(\sigma)$ 上的限制，建立 $[U_\sigma(\lambda) : L(\mu)|_{G(\sigma)}]$ 的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限李型群 $G(\sigma)$ 上不可约模的第 $m$ 个上同调能否与素数 $p$ 无关地有界？
• RQ2 对于固定的根系与自同态高，$G(\sigma)$ 与 $G_\sigma$ 的卡坦不变量是否在所有素数 $p$ 下统一有界？
• RQ3 能否与 $p$ 无关地有界 $G(\sigma)$ 的投射不可约模（PIM）的长度？
• RQ4 从一个 $G_r$-投射模的单个 $G$-合成因子中，其在 $G(\sigma)$ 上的限制所生成的 $G(\sigma)$-合成因子数量是否仅依赖于根系与 $\sigma$ 的高？

主要发现

• 任意不可约 $kG(\sigma)$-模 $L$ 的第 $m$ 个上同调 $\operatorname{H}^m(G(\sigma), L)$ 有界，其界仅依赖于根系 $\Phi$ 与 $m$，且与 $p$ 无关。
• 任意两个不可约 $kG(\sigma)$-模 $L$ 与 $L'$ 之间的第 $m$ 个扩张群 $\operatorname{Ext}^m_{G(\sigma)}(L, L')$ 有界，其界依赖于 $\Phi$、$m$ 以及 $L$ 的最高权的 $p$-进长度，但仍与 $p$ 无关。
• $G(\sigma)$ 与 $G_\sigma$ 的卡坦不变量在所有素数 $p$ 下统一有界，其界仅依赖于根系 $\Phi$ 与 $\sigma$ 的高 $r$。
• 任意 $G(\sigma)$-投射不可约模（PIM）的合成因子长度有界，其界为与 $p$ 无关的常数 $k'(\Phi, r)$。
• 从一个 $G_r$-投射模的单个 $G$-合成因子中，其在 $G(\sigma)$ 上的限制所生成的 $G(\sigma)$-合成因子数量有界于 $f(\Phi, r)^{2(h-1)}$，从而对 PIM 总长度给出整体有界。
• 本研究正面解决了赫斯关于定义特征下卡坦不变量统一有界性问题的一个特例。