[论文解读] Bounding extreme values on attractors using sum-of-squares optimization, with application to the Lorenz attractor

David Goluskin|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2018

Quantum chaos and dynamical systems被引用 4

一句话总结

本文提出了一种平方和优化框架，用于界定多项式微分系统全局吸引子上动力量的极端值，例如洛伦兹吸引子。通过构建优化的多项式李雅普诺夫函数以定义吸收集，该方法可计算出精确到三位或更多有效数字的尖锐边界，显著优于先前结果。

ABSTRACT

We describe methods for bounding extreme values of quantities on global attractors of differential dynamical systems. Such bounds apply, in particular, along every trajectory at sufficiently late times. The methods use Lyapunov functions to find absorbing sets that contain the global attractor, and the choice of Lyapunov function is optimized based on the quantity whose extreme value one aims to bound. When the governing equations and quantities of interest are polynomials, the optimization constraints require two polynomial expressions to be nonnegative. We enforce nonnegativity by requiring these polynomials to be representable as sums of squares, leading to a convex optimization problem that can be recast as a semidefinite program and solved computationally. This computer assistance makes it possible to construct complicated polynomial Lyapunov functions. We apply these methods to the chaotic Lorenz attractor, bounding extreme values of various moments of the coordinates (x,y,z) using Lyapunov functions of polynomial degrees up to 8. In all cases we obtain bounds that are sharp to three or more significant figures, most of which are much sharper than prior results. Some of the absorbing sets constructed also give precise localizations of the attractor as a whole.

研究动机与目标

• 开发一种计算方法，用于界定微分系统全局吸引子上量的极端值。
• 通过利用多项式李雅普诺夫函数，改进混沌系统（如洛伦兹吸引子）的现有边界。
• 专门针对目标量优化李雅普诺夫函数的选择，以增强边界的尖锐性。
• 通过凸优化构建紧密的吸收集，精确定位全局吸引子。
• 通过半定规划实现高达8次的高次多项式李雅普诺夫函数的使用。

提出的方法

• 该方法利用李雅普诺夫函数定义包含全局吸引子的吸收集，确保所有轨迹最终进入并保留在这些集合内。
• 通过优化李雅普诺夫函数的选择，以最小化特定目标量（如(x, y, z)的矩）的上界或下界。
• 通过平方和表示强制优化约束中多项式表达式的非负性，将问题转化为凸半定规划。
• 通过计算求解所得的凸优化问题，实现复杂且高次多项式李雅普诺夫函数的构建。
• 该方法适用于向量场和目标量均为多项式的系统，可对极端值实现严格界定。
• 该方法通过构建紧密的吸收集，对吸引子进行定位，从而约束轨迹可能存在的区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用平方和优化来计算全局吸引子上动力量极端值的尖锐边界？
• RQ2 针对特定量优化李雅普诺夫函数与通用构造相比，如何提升边界的尖锐性？
• RQ3 在混沌系统中，高次多项式李雅普诺夫函数在多大程度上可增强对吸引子的定位？
• RQ4 计算得到的边界与洛伦兹系统先前已知结果在定量上如何比较？
• RQ5 能否通过构建紧密的吸收集精确地定位全局吸引子？

主要发现

• 该方法计算出洛伦兹系统坐标矩的边界，其精度达到三位或更多有效数字。
• 在所有测试的矩中，其边界显著优于先前研究报道的结果。
• 通过该方法构建的吸收集以高精度定位了全局吸引子，提供了紧密的几何约束。
• 成功构建并使用了高达8次的多项式李雅普诺夫函数，证明了该方法在复杂函数上的可扩展性。
• 通过使用平方和表示，将非凸问题类转化为凸半定规划，确保了计算的可行性。
• 该方法通过计算机辅助优化实现严格边界，所有结果均通过凸规划验证。