[论文解读] Bounding Standard Gaussian Tail Probabilities

Lutz Dümbgen|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2015

Probability and Statistical Research参考文献 6被引用 31

一句话总结

本文提出了一种用于界定标准正态分布尾部概率的改进近似方法，利用有限连分数系统性地改进并统一了现有的 Mills 比率不等式。该方法可得到更紧致且解析可处理的界，同时具备明确的误差控制。

ABSTRACT

We review various inequalities for Mills' ratio (1 - Φ)= O, where O and Φ denote the standard Gaussian density and distribution function, respectively. Elementary considerations involving finite continued fractions lead to a general approximation scheme which implies and refines several known bounds.

研究动机与目标

• 开发一种统一且改进的标准正态分布尾部概率近似方法。
• 利用有限连分数改进并推广现有的 Mills 比率不等式。
• 为统计学与概率论中的实际应用提供具有明确误差控制的解析可处理界。

提出的方法

• 该方法采用有限连分数推导 Mills 比率 R(x) = (1 - Φ(x))/φ(x) 的界。
• 利用连分数的基本性质，生成收敛于真实 Mills 比率的一系列有理逼近。
• 该近似方法被构造为单调且收敛，确保更紧致的上下界。
• 该方法通过将已知界嵌入连分数展开的更广泛框架中，实现对已有边界的推广。
• 该方法可推导出任意有限截断下连分数的显式不等式，并附带已证明的误差界。
• 它提供了一种系统性方法，通过增加连分数逼近的深度来进一步改进现有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地改进并统一现有的 Mills 比率不等式？
• RQ2 有限连分数在生成更紧致的正态分布尾部概率界中起到什么作用？
• RQ3 能否开发一种通用的近似方法，使其涵盖并改进已知的边界？
• RQ4 连分数的收敛性质如何提升尾部概率估计的精度？
• RQ5 Mills 比率的有限连分数逼近的显式误差界是什么？

主要发现

• 有限连分数方法得到的 Mills 比率上下界比以往已知的不等式更紧致。
• 该方法提供了一个系统性框架，可统一并改进现有边界，包括 Gauss、Mill's 及其他人的结果。
• 连分数逼近的收敛性确保每增加一项，界即得到改善，且具有明确的误差控制。
• 该方法生成的表达式具有解析可处理性，适用于概率与统计学的理论与实际应用。
• 所得到的边界在整个 x > 0 定义域内均有效，且随着 x 增大，相对误差减小。
• 该方法表明，连分数是近似正态分布尾部概率的一种强大且具有理论基础的工具。