[论文解读] Bounding the equivariant Betti numbers and computing the generalized Euler-Poincaré characteristic of symmetric semi-algebraic sets.

Saugata Basu, Cordian Riener|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2013

Polynomial and algebraic computation参考文献 41被引用 4

一句话总结

本文建立了实闭域中对称半代数集的等变贝蒂数的多项式时间可计算上界，表明对于 s 个次数至多为 d 的对称多项式，具有有理系数的 Sk-等变贝蒂数之和被 (skd)^O(d) 所控制。这给出了此类集合广义欧拉-庞加莱示性数的首个多项式时间算法，与非对称情形下的单指数时间复杂度形成鲜明对比。

ABSTRACT

Let R be a real closed field. The problem of obtaining tight bounds on the Betti numbers of semi-algebraic subsets of R k in terms of the number and degrees of the defining polynomials has been an important problem in real algebraic geometry with the first results due to Oleĭnik and Petrovskiĭ, Thom and Milnor. These bounds are all exponential in the number of variables k. Motivated by several applications in real algebraic geometry, as well as in theoretical computer science, where such bounds have found applications, we consider in this paper the problem of bounding the equivariant Betti numbers of symmetric algebraic and semialgebraic subsets of R k. We obtain several asymptotically tight upper bounds. In particular, we prove that if S ⊂ R k is a semi-algebraic subset defined by a finite set of s symmetric polynomials of degree at most d, then the sum of the Sk-equivariant Betti numbers of S with coefficients in Q is bounded by (skd) O(d). Unlike the classical bounds on the ordinary Betti numbers of real algebraic varieties and semi-algebraic sets, the above bound is polynomial in k when the degrees of the defining polynomials are bounded by a constant. As an application we improve the best known bound on the ordinary Betti numbers of the projection of a compact semi-algebraic set improving for any fixed degree the best previously known bound for this problem due to Gabrielov, Vorobjov and Zell. As another application of our methods we obtain polynomial time (for fixed degrees) algorithms for computing the generalized Euler-Poincaré characteristic of semi-algebraic sets defined by symmetric polynomials. This is in contrast to the best complexity of the known algorithms for the same problem in the nonsymmetric situation, which is singly exponential. This singly exponential complexity for the latter problem is unlikely to be improved because of hardness result (#P-hardness) coming from discrete complexity theory.

研究动机与目标

• 解决实代数几何中半代数集贝蒂数有界性这一长期存在的问题，特别是对称情形下的问题。
• 通过群作用利用对称性，克服经典界中关于变量数 k 的指数依赖性。
• 为对称半代数集开发高效算法，以计算拓扑不变量——特别是广义欧拉-庞加莱示性数。
• 证明当定义多项式的次数有界时，这些不变量可多项式时间计算。
• 利用对称结构改进投影紧致半代数集的普通贝蒂数的已有界。

提出的方法

• 利用对称群 Sk 在 R^k 上的作用，定义并分析具有有理系数的等变贝蒂数。
• 应用等变代数拓扑与表示理论的技术，对对称半代数集的等变贝蒂数之和进行有界。
• 利用对称多项式可降低定义集的复杂性，使得界中指数部分仅依赖于 s 和 d，而非 k。
• 采用适用于对称半代数集的滤子与谱序列论证，以控制贝蒂数的增长。
• 将广义欧拉-庞加莱示性数的计算问题约化至轨道空间上的计算，利用 Sk 下的不变性。
• 应用轨道数与轨道类型的界，为固定次数推导出多项式时间算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称半代数集的等变贝蒂数能否被比经典界更紧密地有界？
• RQ2 定义多项式中的对称性是否能实现广义欧拉-庞加莱示性数的多项式时间算法？
• RQ3 新得到的等变贝蒂数界能否用于改进投影紧致半代数集的普通贝蒂数的已有界？
• RQ4 对称半代数集的拓扑不变量计算复杂度是否显著低于一般情形？
• RQ5 等变贝蒂数界的精确依赖关系如何，取决于对称多项式的数量 s 和其次数 d？

主要发现

• 由 s 个次数至多为 d 的对称多项式定义的半代数集 S ⊂ R^k 的 Sk-等变贝蒂数之和，被 (skd)^O(d) 所控制。
• 当 d 有界时，该界在 k 上为多项式，与经典界中对 k 的指数依赖形成鲜明对比。
• 当 d 固定时，对称半代数集的广义欧拉-庞加莱示性数可多项式时间计算。
• 对于固定次数，投影紧致半代数集的普通贝蒂数界得到改进，超越了 Gabrielov、Vorobjov 和 Zell 的先前结果。
• 算法上的改进源于对称结构带来的复杂度降低，避免了非对称情形中困扰的 #P-难问题。
• 结果表明，定义多项式中的对称性从根本上改变了实代数几何中拓扑不变量的复杂度格局。