[论文解读] Bounding the torsion in CM elliptic curves

Dipendra Prasad, C. S. Yogananda|ArXiv.org|Oct 19, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 22

一句话总结

该论文利用 Deuring 的奇异素数理论与类域论，对具有复乘法（CM）的椭圆曲线在数域上的扭子群建立了有效的界。证明了对于定义在次数为 $ d $ 的数域 $ K $ 上的 CM 椭圆曲线，若 $ K \cap k = \mathbb{Q} $，则 $ \varphi(M) \leq 2d $；若 $ k \subseteq K $，则 $ \varphi(M') \leq 2d $，其中 $ M $ 为扭子群的阶，$ M' $ 为 $ M $ 的修正根式。

ABSTRACT

Merel has shown that the order of torsion subgroup of an elliptic curve over a number field can be bounded in terms of only the degree of the number field. The purpose of this note is to investigate what could be the `right bound'. In this paper we use the result of Deuring on the supersingular primes for a CM elliptic curves to give estimate on the number of torsion points on CM elliptic curves over any number field which depends only linearly with the degree of the number field. This result is also a simple corollary of a result of A. Silverberg bounding the order of torsion elements which was proved using the main theorem of Complex multiplication. We also give a heuristic for hoping that the number of torsion points on any elliptic curve be a bounded linearly with the degree of the number field.

研究动机与目标

• 利用初等代数数论与 Deuring 关于奇异素数的结果，推导出 CM 椭圆曲线在数域上扭子群阶的显式界。
• 仅通过奇异素数技术与 Cebotarev 密度定理，对 Silverberg 关于 CM 椭圆曲线扭子群的界进行改进与重新推导。
• 研究 CM 情形下扭子群界的最佳性，并提出关于扭子群增长在域次数上的统一性的猜想。
• 探讨域交集 $ K \cap k $ 与扭子群结构在确定界时的作用。

提出的方法

• 应用 Deuring 的奇异素数定理，识别出椭圆曲线具有奇异减少且 $ p+1 $ 或 $ p^2+1 $ 整除扭子群阶的素数 $ p $。
• 利用 Cebotarev 密度定理，估计在 CM 域 $ k $ 中为惰性且在 $ K $ 中有次数为 1 或 2 的素理想上方的素数 $ p $ 的密度。
• 通过伽罗华群中 Frobenius 元素的群论论证，建立此类素数密度的下界。
• 推导此类素数密度与模 $ M $ 同余于 $ \pm 1 $ 的素数密度之间的不等式，从而得到 $ \varphi(M) $ 或 $ \varphi(M') $ 的界。
• 引入修正根式 $ M' $ 以处理 $ k \subseteq K $ 的情形，特别是当 $ k = \mathbb{Q}(i), \mathbb{Q}(\omega) $ 时，此时会出现额外的扭子群结构。
• 利用伽罗华群的结构与复共轭的存在性，界定满足所需分裂与分歧条件的 Frobenius 元素的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在次数为 $ d $ 的数域上定义的 CM 椭圆曲线，其扭子群的最大可能阶是多少？
• RQ2 域交集 $ K \cap k $ 如何影响扭子群结构及 $ \varphi(M) $ 的界？
• RQ3 能否仅通过奇异素数与密度论证，而不依赖复乘法定理，改进扭子群阶的界？
• RQ4 当 CM 域 $ k $ 包含于 $ K $ 时，修正根式 $ M' $ 的作用是什么？
• RQ5 是否存在一个统一常数 $ C $，使得对任意定义在 $ K $ 上的 CM 椭圆曲线的 $ N $ 阶扭点，均有 $ \varphi(N) \leq C[K:\mathbb{Q}] $？

主要发现

• 对于在次数为 $ d $ 的数域 $ K $ 上定义的 CM 椭圆曲线，若 $ K \cap k = \mathbb{Q} $，则 $ \varphi(M) \leq 2d $ 成立，其中 $ M $ 为扭子群的阶。
• 若 $ k \subseteq K $ 但 $ k \neq \mathbb{Q}(i), \mathbb{Q}(\omega) $，则 $ \varphi(M') \leq 2d $，其中 $ M' $ 是由 $ M' = \prod l_i^{(j_i + \delta_i)/2} $ 定义的 $ M $ 的类似根式修正。
• 当 $ k = \mathbb{Q}(i) $ 或 $ \mathbb{Q}(\omega) $ 时，该方法额外引入因子 $ 2^{d(M)+1} $，其中 $ d(M) $ 为 $ M $ 的不同素因子个数。
• 在 $ k $ 中为惰性且在 $ K $ 中有次数为 1 的素理想上方的素数 $ p $ 的密度至少为 $ 1/(2d) $，从而导出 $ \varphi(M) \leq 2d $。
• 当 $ k \subseteq K $ 时，具有在 $ K $ 中为次数 2 的素理想上方且具有奇异减少的素数 $ p $ 的密度至少为 $ 1/d $，从而导出 $ \varphi(M') \leq 2d $。
• 在某些情况下，该方法提供的界比先前已知的更优，特别是当 $ K $ 非正规时，可得到更紧的约束，如对某些伽罗华扩张有 $ \varphi(M) \leq 4 $。