[论文解读] Bounds and Computation of Irregularity of a Graph

Hosam Abdo, Nathann Cohen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2012

Graph theory and applications参考文献 8被引用 12

一句话总结

本文確立了具有 n 個頂點的簡單無向圖的精確最大不規則性，證明 clique-star 圖 $KS_{\lfloor n/3\rfloor,\lceil 2n/3\rceil}$ 達到了緊確上界 $\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor \left\lceil \frac{2n}{3} \right\rceil \binom{\left\lceil \frac{2n}{3} \right\rceil - 1}{2}$，並提出一種基於度序列的上界，以實現不規則性計算的高效化。

ABSTRACT

Albertson has defined the irregularity of a simple undirected graph $G=(V,E)$ as $ \irr(G) = \sum_{uv\in E}|d_G(u)-d_G(v)|,$ where $d_G(u)$ denotes the degree of a vertex $u \in V$. Recently, this graph invariant gained interest in the chemical graph theory, where it occured in some bounds on the first and the second Zagreb index, and was named the third Zagreb index Fath-Tabar. For general graphs with $n$ vertices, Albertson has obtained an asymptotically tight upper bound on the irregularity of $4 n^3 /27.$ Here, by exploiting a different approach than in Albertson, we show that for general graphs with $n$ vertices the upper bound $\lfloor \frac{n}{3} floor \lceil \frac{2 n}{3} ceil (\lceil \frac{2 n}{3} ceil -1)$ is sharp. Next, we determine $k$-cyclic graphs with maximal irregularity. We also present some bounds on the maximal/minimal irregularity of graphs with fixed minimal and/or maximal vertex degrees, and consider an approximate computation of the irregularity of a graph.

研究动机与目标

• 確立所有 n 階簡單無向圖中不規則性不變量的精確最大值。
• 描述達到最大不規則性的圖的結構。
• 開發一種僅使用度序列即可高效近似圖的不規則性的計算方法。
• 透過提供緊確上界，擴展先前對第三 Zagreb 指數（不規則性）的邊界。

提出的方法

• 利用度序列推導不規則性的新上界：$\text{irr}(G) \leq \sum_{i=0}^{n-1} \min\left(\sum_{d(v)\leq i} \min(d(v), d_{>i}), \sum_{d(v)>i} \min(d(v), d_{\leq i}) \right)$。
• 運用極值圖論證明，具有最大不規則性的圖必須至少包含 $\lfloor n/3 \rfloor$ 個全域頂點。
• 分析 clique-star 圖 $KS_{p,q}$ 的結構，其定義為大小為 p 的團與大小為 q 的獨立集的併集。
• 證明當 $n \not\equiv 2 \pmod{3}$ 時，最大不規則性由 $KS_{\lfloor n/3 \rfloor, \lceil 2n/3 \rceil}$ 實現；當 $n \equiv 2 \pmod{3}$ 時，則由 $KS_{\lfloor n/3 \rfloor, \lceil 2n/3 \rceil}$ 和 $KS_{\lceil n/3 \rceil, \lfloor 2n/3 \rfloor}$ 兩者共同實現。
• 透過度序列的計算枚舉驗證理論上界，並識別極值圖。
• 使用軟體工具（Sage、Nauty）對 $n \leq 23$ 的圖進行枚舉與驗證。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於任意 n 階簡單無向圖，不規則性不變量的精確最大值為何？
• RQ2 哪些圖結構在給定 n 時達到最大不規則性？
• RQ3 是否可僅使用度序列高效近似圖的不規則性？
• RQ4 不規則性與已知圖不變量（如 Zagreb 指數）有何關聯？目前已知的最緊邊界為何？

主要发现

• 任何具有 n 個頂點的圖的最大不規則性精確為 $\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor \left\lceil \frac{2n}{3} \right\rceil \binom{\left\lceil \frac{2n}{3} \right\rceil - 1}{2}$，且此上界為緊確。
• 達成此最大值的極值圖為 clique-star 圖 $KS_{\lfloor n/3 \rfloor, \lceil 2n/3 \rceil}$，但 $n \equiv 2 \pmod{3}$ 時例外，此時有兩種此類圖為極值。
• 對於 $n \leq 23$，基於度序列的不規則性上界與 clique-star 圖的實際不規則性完全一致，確認其極值性。
• 從度序列推導出的上界對極值圖而言是緊確的，並提供了一種無需完整圖枚舉即可近似不規則性的實用方法。
• 本研究確認，不規則性（第三 Zagreb 指數）確實由 clique-star 結構最大化，從而解決了關於極值圖的長期開放問題。
• 研究結果擴展並改進了 Albertson 早期提出的漸近上界 $4n^3/27$，提供了緊確且精確的表達式。