[论文解读] Bounds for orthogonal arrays with repeated rows

Douglas R. Stinson|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2018

Optimal Experimental Design Methods参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文通过一种基于方差的证明方法，将重复行数为 $m$ 的正交数组（强度为二）的 Plackett-Burman 界提高了 $m$ 倍。通过 Mukerjee、Qian 和 Wu 的定理，该结果被推广至更高强度的正交数组，为具有重复行的数组提供了更紧致的存在性界，其应用涵盖实验设计与组合构造。

ABSTRACT

In this expository paper, we mainly study orthogonal arrays (OAs) of strength two having a row that is repeated $m$ times. It turns out that the Plackett-Burman bound (\cite{PB}) can be strengthened by a factor of $m$ for orthogonal arrays of strength two that contain a row that is repeated $m$ times. This is a consequence of a more general result due to Mukerjee, Qian and Wu \cite{Muk} that applies to orthogonal arrays of arbitrary strength $t$. We examine several proofs of the Plackett-Burman bound and discuss which of these proofs can be strengthened to yield the aforementioned bound for OAs of strength two with repeated rows. We also briefly discuss related bounds for $t$-designs, and OAs of strength $t$, when $t > 2$.

研究动机与目标

• 建立包含某一行重复 $m$ 次的强度为二的正交数组的更紧致存在性界。
• 将强化后的 Plackett-Burman 界推广至任意强度 $t \geq 2$ 的正交数组。
• 考察经典 Plackett-Burman 界证明方法中，哪些可被修改以适用于重复行的情形。
• 在正交数组与平衡不完全区组设计（BIBDs）及 $t$-设计的界之间建立类比关系。
• 为在实际实验设计中构建高重复度行的正交数组提供理论依据。

提出的方法

• 将经典 Plackett-Burman 界的方差法证明方法进行调整，以适用于 $\mathrm{OA}_\lambda(k,n)$ 中存在 $m$ 次重复行的情形。
• 通过重新加权非重复行的行和与方差，推导出一个修正不等式，使界按 $m$ 缩放。
• 应用 Mukerjee、Qian 和 Wu（2003）关于嵌套正交数组的广义结果，推导出强度 $t \geq 2$ 的界。
• 以 Rao 界为基础，当某一行重复 $m$ 次时，将该界按 $m$ 缩放。
• 比较 Fisher 不等式、Mann 不等式与 Wilson 锥条件的证明技术，评估其在重复行情形下的可适应性。
• 在正交数组与 $t$-设计的界之间建立类比关系，特别关注重复块的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当某一行在强度为二的正交数组中重复 $m$ 次时，Plackett-Burman 界是否可以得到改进？
• RQ2 哪些经典 Plackett-Burman 界的证明方法可被修改，以在重复行条件下导出强化后的界？
• RQ3 强化后的界是否可推广至强度 $t > 2$ 的正交数组？
• RQ4 具有重复行的正交数组的界与已知的具有重复块的 BIBDs 和 $t$-设计的界相比如何？
• RQ5 在实际实验设计中，构建高重复度行的正交数组的理论依据是什么？

主要发现

• 对于在 $\mathrm{OA}_\lambda(k,n)$ 中某一行重复 $m$ 次的情形，界被强化为 $\lambda \geq \frac{m(k(n-1) + 1)}{n^2}$，相比原始 Plackett-Burman 界提高了 $m$ 倍。
• 通过考虑非重复行数量减少的方差法证明技术，推导出强度为二的强化界。
• 该结果通过 Mukerjee-Qian-Wu 界推广至更高强度的正交数组，该界在某一行重复 $m$ 次时将 Rao 界按 $m$ 缩放。
• 对于具有重复块（重数为 $m$）的 $t$-设计，Wilson 不等式表明 $b \geq m\binom{v}{s}$，这推广了 BIBDs 的 Mann 不等式。
• 证明技术中，Fisher、Mann 和 Wilson 的方法均显示可适应重复行/块的情形，其中 Wilson 方法最为一般但最复杂。
• 直接推导出界 $m \leq \frac{\lambda n^2}{k(n-1) + 1}$，给出了给定数组下可能的最大重复次数。