[论文解读] Bounds for radii of convexity of some $q$-Bessel functions

Halit Orhan, İbrahim Aktaş|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2017

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文利用欧拉-雷莱不等式和拉盖尔-波利亚类的性质，通过关联函数的零点推导出的超越方程，为四种归一化的杰克逊和哈恩-埃克斯特翁 $q$-贝塞尔函数的凸性半径建立了紧致的下界和上界。这些结果将经典贝塞尔函数的已知结果推广至 $q$-微积分框架。

ABSTRACT

In the present investigation, by applying two different normalizations of the Jackson and Hahn-Exton $q$-Bessel functions tight lower and upper bounds for the radii of convexity of the same functions are obtained. In addition, it was shown that these radii obtained are solutions of some transcendental equations. The known Euler-Rayleigh inequalities are intensively used in the proof of main results. Also, the Laguerre-Pólya class of real entire functions plays an important role in this work.

研究动机与目标

• 将已知的关于经典贝塞尔函数凸性半径的结果推广至 $q$-贝塞尔函数。
• 为归一化的杰克逊和哈恩-埃克斯特翁 $q$-贝塞尔函数的凸性半径推导出紧致的下界和上界。
• 证明这些凸性半径是涉及 $q$-贝塞尔函数零点的特定超越方程的解。
• 应用欧拉-雷莱不等式和拉盖尔-波利亚类的性质来分析凸性半径。
• 将几何函数论的结果从经典函数推广至 $q$-特殊函数。

提出的方法

• 对杰克逊和哈恩-埃克斯特翁 $q$-贝塞尔函数进行归一化，以确保其属于解析函数类 $\mathcal{A}$（即满足 $f(0)=0$，$f'(0)=1$）。
• 将欧拉-雷莱不等式应用于归一化 $q$-贝塞尔函数的幂级数系数，以推导凸性半径的界。
• 利用梅尔滕-莱夫勒展开式和无穷乘积表示，表达归一化函数的导数。
• 将凸性半径识别为由函数 $z(h_{\nu}^{(3)}(z;q))'$ 的二阶导数导出的超越方程的最小正实根。
• 利用拉盖尔-波利亚类的性质，确保所导出的函数仅有实零点，从而支持欧拉-雷莱不等式的应用。
• 通过系数匹配，推导出欧拉-雷莱和 $\sigma_k = \sum_{n\geq 1} \gamma_{\nu,n}^{-k}(q)$ 关于 $\nu$ 和 $q$ 的显式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 归一化的杰克逊和哈恩-埃克斯特翁 $q$-贝塞尔函数的凸性半径的紧致界是什么？
• RQ2 欧拉-雷莱不等式如何应用于 $q$-特殊函数以估计凸性半径？
• RQ3 $q$-贝塞尔函数的零点与它们的归一化形式的凸性半径之间存在何种关系？
• RQ4 拉盖尔-波利亚类的性质在推导凸性半径界的过程中起到何种作用？
• RQ5 能否将 $q$-贝塞尔函数的凸性半径表征为超越方程的解？

主要发现

• 凸性半径 $r^c(g_{\nu}^{(2)}(z;q))$ 满足不等式 $\sqrt{\frac{(1-q)(1-q^{\nu+1})}{9q}} < r^c(g_{\nu}^{(2)}(z;q)) < \sqrt{\frac{9(q^2-1)(1-q^{\nu+1})(1-q^{\nu+2})}{qY_{\nu}(q)}}$。
• 对于 $g_{\nu}^{(3)}(z;q)$，其界为 $\sqrt{\frac{(1-q)(1-q^{\nu+1})}{9q}} < r^c(g_{\nu}^{(3)}(z;q)) < \sqrt{\frac{9(q^2-1)(1-q^{\nu+1})(1-q^{\nu+2})}{qY_{\nu}(q)}}$。
• 凸性半径 $r^c(h_{\nu}^{(3)}(z;q))$ 满足 $\frac{(1-q)(1-q^{\nu+1})}{4q} < r^c(h_{\nu}^{(3)}(z;q)) < \frac{2(q^{\nu+1}-1)(q^{\nu+2}-1)(q^2-1)}{qE_{\nu}(q)}$。
• 函数 $h_{\nu}^{(3)}(z;q)$ 的凸性半径是方程 $(2-\nu)^2 J_{\nu}^{(3)}(\sqrt{r};q) + (5-2\nu)\sqrt{r} \frac{d}{dr}J_{\nu}^{(3)}(\sqrt{r};q) + r \frac{d^2}{dr^2}J_{\nu}^{(3)}(\sqrt{r};q) = 0$ 的最小正实根。
• 欧拉-雷莱和 $\sigma_1$、$\sigma_2$ 和 $\sigma_3$ 已显式表示为 $\nu$、$q$ 以及辅助函数 $E_\nu(q)$、$K_\nu(q)$、$L_\nu(q)$ 和 $T(q)$ 的函数。
• 所推导的界是紧致的，且被证明是涉及 $q$-贝塞尔函数及其导数零点的超越方程的解。