[论文解读] Bounds for Serre's open image theorem

David Zywina|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文建立了关于非CM椭圆曲线在ℚ上与伽罗瓦表示相关图像的指标的首个通用界，表明其在j-不变量的对数高度、导子和不良素数个数方面呈多项式有界。这些界解决了关于Lang-Trotter常数平均值的一个开放问题，并对伽罗瓦图像增长提供了有效控制。

ABSTRACT

Let E be an elliptic curve over the rationals without complex multiplication. The absolute Galois group of Q acts on the group of torsion points of E, and this action can be expressed in terms of a Galois representation rho_E:Gal(Qbar/Q) o GL_2(Zhat). A renowned theorem of Serre says that the image of rho_E is open, and hence has finite index, in GL_2(Zhat). We give the first general bounds of this index in terms of basic invariants of E. For example, the index can be bounded by a polynomial function of the logarithmic height of the j-invariant of E. As an application of our bounds, we settle an open question on the average of constants arising from the Lang-Trotter conjecture.

研究动机与目标

• 为ℚ上非CM椭圆曲线提供$[\operatorname{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}}) : \rho_E(\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}))]$的有效的通用界，Serre原始定理仅断言其有限。
• 通过控制伽罗瓦图像的大小，解决关于Lang-Trotter常数$C_{E,r}$在椭圆曲线上的平均值的开放问题。
• 将Serre的定性开像定理扩展为使用高度和导子不变量的有效的定量形式。
• 在无条件假设和GRH假设下建立界，为有效算术应用提供框架。

提出的方法

• 利用ℓ-幂挠子群的伽罗瓦图像结构，通过素数上的乘积公式，对$\operatorname{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}})$中的全局图像进行有界。
• 应用Mazur、Bilu-Parent和Kraus关于$\rho_{E,\ell}$满射性的结果，控制大素数处的图像。
• 使用界$[\operatorname{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}}) : \rho_E(\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}))] \leq C \cdot M^{24}$，其中$M$是依赖于导子和不良减少的小素数的乘积。
• 利用$E$的对数高度$h(j_E)$和导子$N$来有界$M$，从而实现对指数的多项式有界。
• 在GRH下，利用对数因子改进与导子相关的界。
• 使用界$C_{E,r} \leq [\operatorname{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}}) : \rho_E(\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}))] \cdot C_r$，通过指数控制Lang-Trotter常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在j-不变量高度和导子等不变量方面，有效有界非CM椭圆曲线在ℚ上伽罗瓦表示$\rho_E$在挠点图像的指标？
• RQ2 能否对所有ℚ上非CM椭圆曲线给出一个统一的指标界，且独立于特定曲线？
• RQ3 伽罗瓦图像的大小如何影响Lang-Trotter常数$C_{E,r}$的平均值，且能否有效控制？
• RQ4 在广义黎曼假设下，指标界可能有哪些改进？
• RQ5 能否利用对指标的有效界，解决椭圆曲线族中Lang-Trotter常数平均行为的问题？

主要发现

• 指数$[\operatorname{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}}) : \rho_E(\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}))]$被有界于$\max\{1, h(j_E)\}$的多项式，其中绝对常数$C$和指数$\gamma$，证明了通过j-不变量高度实现的有效控制。
• 无条件地，指数被有界于$C \cdot (68N(1 + \log \log N)^{1/2})^{24\omega(N)}$，其中$N$为导子，$\omega(N)$为$N$的不同素因子个数。
• 在广义黎曼假设下，指数被有界于$\left(C \log N (\log \log 2N)^3\right)^{24\omega(N)}$，改进了与导子相关的依赖关系。
• 这些界是首次在所有ℚ上非CM椭圆曲线中对Serre开像定理指标的通用有效界。
• 这些界被用于证明Lang-Trotter常数$C_{E,r}$的平均值以$O(\log^\delta(AB)/\sqrt{\min\{A,B\}})$的速率收敛于$C_r$，解决了开放问题。
• 本文确立了对非CM曲线有$C_{E,r} \ll_r (\max\{1, h(j_E)\})^\gamma$，其中$\gamma$为绝对常数，从而实现对平均值的有效控制。