[论文解读] Bounds for the rainbow disconnection number of graphs

Xuqing Bai, Zhong Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2020

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文为连通图 G 的彩虹消去数 rd(G) 建立了紧致的上界，证明了 rd(G) ≤ λ⁺(G) + 1 的猜想，其中 λ⁺(G) 为上边连通度，并揭示了 rd(G) 与线图 L(G) 的彩虹顶点消去数 rvd(L(G)) 之间的关键关系，表明 rd(G) ≤ rvd(L(G))，且当 δ(G) ≥ 4 时，等式成立当且仅当 rd(G) = χ′(G)。

ABSTRACT

An edge-cut $R$ of an edge-colored connected graph is called a rainbow-cut if no two edges in the edge-cut are colored the same. An edge-colored graph is rainbow disconnected if for any two distinct vertices $u$ and $v$ of the graph, there exists a $u$-$v$-rainbow-cut separating them. For a connected graph $G$, the rainbow disconnection number of $G$, denoted by rd$(G)$, is defined as the smallest number of colors that are needed in order to make $G$ rainbow disconnected. In this paper, we first give some tight upper bounds for rd$(G)$, and moreover, we completely characterize the graphs which meet the upper bound of the Nordhaus-Gaddum type results obtained early by us. Secondly, we propose a conjecture that $λ^+(G)\leq extnormal{rd}(G)\leq λ^+(G)+1$, where $λ^+(G)$ is the upper edge-connectivity, and prove the conjecture for many classes of graphs, to support it. Finally, we give the relationship between rd$(G)$ of a graph $G$ and the rainbow vertex-disconnection number rvd$(L(G))$ of the line graph $L(G)$ of $G$.

研究动机与目标

• 为连通图的彩虹消去数 rd(G) 建立紧致的上界。
• 刻画在 Nordhaus-Gaddum 型结果中实现上界的图。
• 证明一个猜想：rd(G) ≤ λ⁺(G) + 1，其中 λ⁺(G) 为上边连通度。
• 研究图 G 的彩虹消去数 rd(G) 与其线图 L(G) 的彩虹顶点消去数 rvd(L(G)) 之间的关系。

提出的方法

• 使用边着色技术定义彩虹割和彩虹消去着色。
• 应用保持边着色性质并减少图至 k-边连通、k-正则分量的操作。
• 运用归纳法和奇偶性论证，证明最终的边着色是正常的，从而推出 rd(G) ≥ χ′(G)。
• 在图 G 的边着色与线图 L(G) 的顶点着色之间建立一一对应关系。
• 使用反证法和结构分析，证明当 δ(G) ≥ 4 时，等式 rd(G) = rvd(L(G)) 成立蕴含 rd(G) = χ′(G)。
• 利用关于 rvd(K_n) 的已知结果，推导出 rd(G) ≤ rvd(L(G)) 不等式中等式成立的必要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 连通图 G 的彩虹消去数 rd(G) 的紧致上界是什么？
• RQ2 哪些图在 Nordhaus-Gaddum 型结果中实现了上界？
• RQ3 猜想 rd(G) ≤ λ⁺(G) + 1 对所有连通图都成立吗？该猜想在哪些图类中已被证明？
• RQ4 彩虹消去数 rd(G) 与线图 L(G) 的彩虹顶点消去数 rvd(L(G)) 之间有何关系？
• RQ5 在何种条件下等式 rd(G) = rvd(L(G)) 成立？

主要发现

• 本文证明了在许多图类中 rd(G) ≤ λ⁺(G) + 1，支持了该界普遍成立的猜想。
• 本文完全刻画了在 Nordhaus-Gaddum 型结果中实现上界的图。
• 本文证明了对任意连通图 G，有 rd(G) ≤ rvd(L(G))，建立了边与顶点彩虹消去数之间的直接联系。
• 当 δ(G) ≥ 4 时，等式 rd(G) = rvd(L(G)) 成立当且仅当 rd(G) = χ′(G)。
• 色数 χ′(G) 满足 χ′(G) ≤ rd(G)，且当 δ(G) ≥ 4 时，rd(G) = rvd(L(G)) 要求等式成立。
• 对于满足 n ≥ 4 的完全图 Kn，有 rvd(Kn) = n，该结果被用于推导 rd(G) ≤ rvd(L(G)) 不等式中等式成立的必要条件。