[论文解读] Bounds for the response of viscoelastic composites under antiplane loadings in the time domain

Ornella Mattei, Graeme W. Milton|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2015

Mechanical Behavior of Composites参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文提出了一种时间域下解析方法的新应用，通过在极点位置和残留矩阵上进行线性规划优化，推导出双相粘弹性复合材料在反平面加载下瞬态应力与应变响应的紧致边界。该方法利用粘弹性有效性能的解析性，结合体积分数及长期/瞬时响应信息，可实现高度精确的边界估计，从而实现对复合材料行为的精确预测以及相体积分数的逆向估计。

ABSTRACT

To derive bounds on the strain and stress response of a two-component composite material with viscoelastic phases, we revisit the so-called analytic method (Bergman 1978), which allows one to approximate the complex effective tensor, function of the ratio of the component shear moduli, as the sum of poles weighted by positive semidefinite residue matrices. The novelty of this investigation lies in the application of such a method, previously applied (Milton 1980; Bergman 1980) to problems involving cyclic loadings in the frequency domain, to derive bounds in the time domain for the antiplane viscoelasticity case. The position of the poles and the residues matrices are the variational parameters of the problem: the aim is to determine such parameters in order to have the minimum (or maximum) response at any given moment in time. All the information about the composite is translated for each fixed pole configuration into constraints on the residues, the so-called sum rules. The linearity of the constraints, along with the observation that the response at a fixed time is linear in the residues, enables one to use the theory of linear programming to reduce the problem to one involving relatively few non-zero residues. Finally, bounds on the response are obtained by numerically optimizing over the pole positions. In the examples studied, the results turn out to be very accurate estimates: if sufficient information about the composite is available, the bounds can be quite tight over the entire range of time, allowing one to predict the transient behavior of the composite. Furthermore, the bounds incorporating the volume fractions (and possibly transverse isotropy) can be extremely tight at certain specific times.

研究动机与目标

• 将此前仅用于频域的解析方法扩展至时间域，以对复合材料的有效性能进行边界估计，适用于反平面粘弹性加载。
• 推导双组分粘弹性复合材料在非周期性加载下瞬态应力与应变响应的严格边界。
• 通过结合特定时间点的实测响应与紧致边界，实现相体积分数的逆向估计。
• 将几何与材料约束（如体积分数、横观各向同性，以及瞬时/长期响应）纳入边界公式化中。

提出的方法

• 基于有效性能的解析性，将复有效粘弹性张量表示为由正半定残留矩阵加权的极点之和。
• 将极点位置与残留矩阵视为变分参数，在每个时间点上进行优化以获得最大或最小响应。
• 将物理约束（如体积分数、横观各向同性，以及特定时间点的已知响应）转化为对残留矩阵的线性约束。
• 应用线性规划以减少非零残留矩阵的数量，从而在保持精度的同时简化优化问题。
• 在极点位置上进行数值优化，计算麦克斯韦与凯尔文-冯·沃伊特模型复合材料的应力与应变响应边界。
• 利用所得边界关联不同加载历史或时间点的响应，实现预测或逆向分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 解析方法能否成功地从频域扩展至时间域，以处理非周期性粘弹性加载？
• RQ2 在利用可用材料与几何信息的前提下，双相粘弹性复合材料的瞬态应力与应变响应能被多紧致地界定？
• RQ3 在特定时间点的实测响应在多大程度上可用于反向估计相体积分数并实现高精度？
• RQ4 体积分数与横观各向同性等约束在多大程度上影响随时间变化的边界紧致性？
• RQ5 该方法能否基于少数关键时间点的测量值，预测新加载历史下的响应？

主要发现

• 当充分引入体积分数及长期/瞬时响应等信息时，该方法能对粘弹性复合材料的瞬态响应产生高度精确的边界。
• 当包含体积分数与横观各向同性约束时，边界在特定时间点变得极为紧致，从而实现近乎精确的相体积分数逆向估计。
• 边界在整个时间范围内保持紧致，可可靠预测复合材料的完整瞬态行为。
• 线性规划的应用显著减少了非零残留矩阵的数量，使优化问题在计算上可行。
• 数值结果表明，该方法能有效关联不同时间点的响应，实现对新加载条件下行为的预测。
• 该方法具有鲁棒性与可扩展性，可推广至多时间点的松弛或蠕变核函数的边界估计。