[论文解读] Bounds for the sampling discretization error and their applications to the universal sampling discretization

Egor D. Kosov, Vladimir Temlyakov|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2023

Mathematical Approximation and Integration被引用 4

一句话总结

本文利用链式技术与熵数，在一致范数下建立了连续函数类上 $L_p$-范数采样离散化误差的一般界。研究推导了具有混合光滑性的多变量函数的新误差估计，并将其应用于通用采样离散化与最优采样恢复，为具有可控近似误差的恢复算法提供了理论保证。

ABSTRACT

In the first part of the paper we study absolute error of sampling discretization of the integral $L_p$-norm for function classes of continuous functions. We use basic approaches from chaining technique to provide general upper bounds for the error of sampling discretization of the $L_p$-norm on a given function class in terms of entropy numbers in the uniform norm of this class. As an example we apply these general results to obtain new error bounds for sampling discretization of the $L_p$-norms on classes of multivariate functions with mixed smoothness. In the second part of the paper we apply our general bounds to study the problem of universal sampling discretization.

研究动机与目标

• 推导 $L_p$-范数在连续函数类上的采样离散化误差的一般上界。
• 建立离散化误差与一致范数下熵数之间的联系。
• 将结果应用于具有混合光滑性的函数类的通用采样离散化与最优采样恢复。
• 为具有可控近似误差的高效采样恢复算法提供理论基础。
• 展示贪心算法（如 WCGA）在实际恢复中结合理论保证的有效性。

提出的方法

• 使用链式技术，以函数类在一致范数下的熵数为基准，界定了采样离散化误差。
• 推导出一个一般性抽象界，将 $er_m(W, L_p)$ 与按 $p$ 的幂次缩放的熵数之和相联系。
• 将该一般界应用于特定的多变量周期函数类 $\mathbf{W}^r_q$ 和 $\mathbf{H}^r_q$，其具有混合光滑性。
• 通过引入有限维子空间族的 $L_p$-通用采样离散化概念，分析了通用采样离散化。
• 利用弱切比雪夫贪心算法（WCGA）构建具有理论误差界的实际恢复方法。
• 通过单边通用离散化，建立基于采样点上 $\ell_p$-范数投影的恢复误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以函数类的熵数表示 $L_p$-范数的采样离散化误差？
• RQ2 当 $p \geq 2$ 时，熵数的衰减速率与 $L_p$-范数离散化误差之间有何关系？
• RQ3 该离散化误差的一般界是否可应用于具有混合光滑性的多变量函数类？
• RQ4 对于有限维子空间族，$L_p$-范数下的通用采样离散化具有哪些理论保证？
• RQ5 贪心算法（如 WCGA）在实现最小计算成本的最优采样恢复方面有多高效？

主要发现

• 当 $p \in [2, \infty)$ 且 $\varepsilon_n(W, L_\infty) \leq B n^{-r} [\log(n+1)]^b$（$r \in (0, 1/2]$）时，离散化误差满足 $er_m(W, L_p) \leq C m^{-r} [\log(m+1)]^b$，其中 $C$ 依赖于 $B, M, r, b, p$。
• 在临界情形 $r = 1/2$ 时，误差界变为 $er_m(W, L_p) \leq C m^{-1/2} [\log(m+1)]^{b+1}$，反映出对数惩罚。
• 对所有 $p \in [1, \infty)$，一般界 $er_m(W, L_p) \leq C p^2 M^{\max\{p/2, p-1\}} m^{-1/2} \sum_{n=0}^m (n+1)^{-1/2} \varepsilon_n(W, L_\infty)^{\min\{2,p\}/2}$ 成立，提供了一个统一的框架。
• 对于类 $\mathbf{W}^r_q$ 和 $\mathbf{H}^r_q$，熵数以 $n^{-r} [\log n]^b$ 的速率衰减，导致匹配的离散化误差率。
• 基于 WCGA 的恢复算法在 $k \sim v \ln(2v)$ 次迭代内实现误差界 $\|f - f_k\|_p \leq C D \sigma_v(f, \mathcal{D}_N)_\infty$，确保计算高效。
• 通过单边通用离散化建立了理论恢复误差界，表明优良的采样点可实现稳定且精确的恢复。