[论文解读] Bounds for zeros of a polynomial using numerical radius

Pintu Bhunia, Santanu Bag+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2019

Matrix Theory and Algorithms参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文建立了2×2算子矩阵数值半径的改进界，进而用于推导首一多项式零点的更紧致估计。所提出的不等式在数值例子中被证明优于现有方法，且具有更广的通用性。

ABSTRACT

We obtain bounds for the numerical radius of $2 imes 2$ operator matrices which improves on the existing bounds. We also show that the inequalities obtained here generalize the existing ones. As an application of the results obtained here we estimate the bounds for zeros of a monic polynomial and illustrate with numerical examples to show that the bounds are better than the existing ones.

研究动机与目标

• 推导2×2算子矩阵数值半径的更紧致界。
• 推广现有算子矩阵数值半径不等式。
• 将改进的数值半径界应用于估计首一多项式零点的位置。
• 通过数值例子证明新界优于以往已知的界。

提出的方法

• 作者使用算子理论技术推导2×2算子矩阵数值半径的新上界。
• 他们利用矩阵范数不等式和数值域的性质来改进现有估计。
• 随后将改进的界专门应用于首一多项式相伴矩阵的情形。
• 该方法通过数值半径将算子矩阵理论与多项式根定位联系起来。
• 使用数值例子将新界与文献中经典的界进行比较。
• 通过证明新界可作为先前已知不等式的特例，展示了理论上的推广性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用算子理论方法推导出2×2算子矩阵数值半径的更紧致界？
• RQ2 新数值半径界在紧致性和通用性方面与现有界相比如何？
• RQ3 改进的数值半径界在多大程度上能提升多项式零点的定位精度？
• RQ4 新界是否推广或包含文献中已建立的界？
• RQ5 数值例子能否证实所提界优于经典估计？

主要发现

• 所提出的2×2算子矩阵数值半径界比现有界更紧致。
• 新界推广了先前已知的不等式，可作为其特例被包含。
• 将这些界应用于多项式可获得更优的零点估计。
• 数值例子证实新界比经典界更精确。
• 该方法为利用算子矩阵理论系统性地改进多项式零点定位提供了途径。
• 结果展示了算子矩阵性质与多项式根位置之间直接而有效的联系。