[论文解读] Bounds of Zagreb indices and hyper Zagreb indices

Shaohui Wang, Wei Gao+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2016

Graph theory and applications参考文献 22被引用 9

一句话总结

本文利用顶点数、边数、最小度与最大度以及第一Zagreb指数等图参数，为第一类和第二类超-Zagreb指数建立了新的上下界。通过应用柯西-施瓦茨不等式与Diaz-Metcalf不等式，推导出紧致界并刻画了等号成立的条件，表明当且仅当图是正则图时等号成立，从而将图的结构性质与化学图论中拓扑指数的行为联系起来。

ABSTRACT

The hyper Zagreb index is a kind of extensions of Zagreb index, used for predicting physicochemical properties of organic compounds. Given a graph $G= (V(G), E(G))$, the first hyper-Zagreb index is the sum of the square of edge degree over edge set $E(G)$ and defined as $HM_1(G)=\sum_{e=uv\in E(G)}d(e)^2$, where $d(e)=d(u)+d(v)$ is the edge degree. In this work we define the second hyper-Zagreb index on the adjacent edges as $HM_2(G)=\sum_{e\sim f}d(e)d(f)$, where $e\sim f$ represents the adjacent edges of $G$. By inequalities, we explore some upper and lower bounds of these hyper-Zagreb indices, and provide the relation between Zagreb indices and hyper Zagreb indices.

研究动机与目标

• 利用基本图参数，为第一类和第二类超-Zagreb指数建立严格的上下界。
• 探讨Zagreb指数与超-Zagreb指数之间的关系，特别是通过第一Zagreb指数进行分析。
• 刻画所推导界中等号成立的条件，重点聚焦于图的正则性。
• 通过引入并分析基于相邻边度的新第二类超-Zagreb指数，拓展现有关于重排Zagreb指数的研究成果。

提出的方法

• 将第一类超-Zagreb指数定义为 $ HM_1(G) = \sum_{e=uv \in E(G)} d(e)^2 $，其中 $ d(e) = d(u) + d(v) $，第二类超-Zagreb指数定义为 $ HM_2(G) = \sum_{e \sim f} d(e)d(f) $，其中 $ e \sim f $ 表示相邻边。
• 应用柯西-施瓦茨不等式，推导出界 $ HM_1(G) \geq \frac{M_1(G)^2}{m} $，当且仅当图是边度正则图时等号成立。
• 利用Diaz-Metcalf不等式，结合边界 $ 2\delta \leq d(e) \leq 2\triangle $，推导出 $ HM_1(G) \leq 2(\triangle + \delta)M_1(G) - 4m\triangle\delta $，当且仅当 $ G $ 为正则图时等号成立。
• 通过共享公共顶点的边对数量 $ \frac{1}{2}M_1(G) - 2m $ 建立 $ HM_2(G) $ 的界，并应用不等式将 $ HM_2(G) $ 与 $ M_1(G) $ 及度参数关联。
• 利用AM-GM不等式推导出下界 $ HM_2(G) \geq \frac{M_1(G)^3}{2m^2} $，当且仅当 $ G $ 为正则图时等号成立。
• 结合定理3与定理8的结果，得出以 $ M_1(G) $、$ m $、$ \delta $、$ \triangle $ 表示的 $ HM_2(G) $ 的复合上界，当且仅当图正则时等号成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 第一类超-Zagreb指数 $ HM_1(G) $ 在 $ n $、$ m $、$ \delta $、$ \triangle $ 下的最紧致上下界是什么？
• RQ2 第二类超-Zagreb指数 $ HM_2(G) $ 与第一Zagreb指数 $ M_1(G) $ 有何关系？其极值界是什么？
• RQ3 在何种图结构条件下，$ HM_1(G) $ 与 $ HM_2(G) $ 的所推导界成为等号？
• RQ4 Zagreb指数与超-Zagreb指数之间的关系能否通过涉及度参数的不等式形式化？
• RQ5 图的正则性在实现超-Zagreb指数极值中起什么作用？

主要发现

• 第一类超-Zagreb指数满足 $ \delta^2 \leq \frac{HM_1(G)}{4m} \leq \triangle^2 $，左侧等号成立当且仅当 $ G $ 为 $ \delta $-正则图，右侧等号成立当且仅当 $ G $ 为 $ \triangle $-正则图。
• 不等式 $ HM_1(G) \geq \frac{M_1(G)^2}{m} $ 成立，当且仅当 $ G $ 为边度正则图时等号成立。
• 建立了上界 $ HM_1(G) \leq 2(\triangle + \delta)M_1(G) - 4m\triangle\delta $，当且仅当 $ G $ 为正则图时等号成立。
• 对于第二类超-Zagreb指数，有 $ \delta^2 \leq \frac{HM_2(G)}{2(M_1(G) - 2m)} \leq \triangle^2 $，且等号成立当且仅当 $ G $ 为正则图。
• 推导出下界 $ HM_2(G) \geq \frac{M_1(G)^3}{2m^2} $，当且仅当 $ G $ 为正则图时等号成立。
• 证明了上界 $ HM_2(G) \leq \frac{1}{2}M_1(G)^2 - \delta(m-1)M_1(G) + \left(\delta - \frac{1}{2}\right)HM_1(G) $，当且仅当 $ G $ 为正则图时等号成立。