[论文解读] Bounds on 2-torsion in class groups of number fields and integral points on elliptic curves

Manjul Bhargava, Arul Shankar+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 12

一句话总结

该论文首次为次数 $n > 2$ 的数域类群中的 2-挠子群建立了非平凡界，采用了一种新颖的方法，将理想类结构与小范数生成元及几何约束联系起来。证明了 $h_2(K) = O_\epsilon(|\text{Disc}(K)|^{1/2 - \delta_n + \epsilon})$，其中 $\delta_n > 0$，显著改进了先前的界，并为 2-Selmer 群、椭圆曲线与双二次曲线的秩以及 $A_4$-四次域的计数提供了更强的估计。

ABSTRACT

We prove the first known nontrivial bounds on the sizes of the 2-torsion subgroups of the class groups of cubic and higher degree number fields $K$ (the trivial bound being $O_ε(|{ m Disc}(K)|^{1/2+ε})$ by Brauer--Siegel). This yields corresponding improvements to: 1) bounds of Brumer and Kramer on the sizes of 2-Selmer groups and ranks of elliptic curves; 2) bounds of Helfgott and Venkatesh on the number of integral points on elliptic curves; 3) bounds on the sizes of 2-Selmer groups and ranks of Jacobians of hyperelliptic curves; and 4) bounds of Baily and Wong on the number of $A_4$-quartic fields of bounded discriminant.

研究动机与目标

• 打破次数 $n > 2$ 的数域类群中 2-挠子群的平凡界 $O_\epsilon(|\text{Disc}(K)|^{1/2+\epsilon})$。
• 将这些界扩展，以改进现有对 2-Selmer 群、秩以及椭圆与双二次曲线整点的估计。
• 改进 $A_4$-四次域及其相关数域族的计数界。
• 开发一种适用于所有次数 $n > 2$ 的统一方法，利用理想类结构与生成元的几何约束。

提出的方法

• 在每个 2-挠子类中构造一个代表理想 $I$，使得 $I^2 = (\beta)$ 且 $|N(\beta)| \ll |\text{Disc}(K)|$，同时 $\beta$ 的所有实嵌入大小相近。
• 利用数的几何与 Minkowski 定理控制此类生成元 $\beta$ 的大小，将其与 $K$ 的判别式联系起来。
• 应用 Sedunova 的函数域版本 Bombieri–Pila 定理，以界定有限域上曲线的 Picard 群中 2-挠子群的点数。
• 建立从 $H^0(C, 2E)^{\text{sq}}$（平方除子空间）到 $\text{Pic}^0(C)(k)[2]$ 的满射，从而通过线性系统实现计数。
• 利用 Riemann–Roch 定理界定 $H^0(C, 2E)$ 的大小，得到 $|H^0(C, 2E)| = |k|^{g+1}$，其中 $g$ 为亏格。
• 通过类比，将函数域中的洞见转移到数域中，利用理想中低范数元素的结构，以界定类群中的 2-挠子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为次数 $n > 2$ 的数域类群中的 2-挠子群建立非平凡界，从而打破经典的 Brauer–Siegel 界 $O_\epsilon(|\text{Disc}(K)|^{1/2+\epsilon})$？
• RQ2 类群中 2-挠子群的改进界在多大程度上能带来对 2-Selmer 群与椭圆及双二次曲线秩的更好估计？
• RQ3 能否利用对三次域中 2-挠子群的新界，更紧密地界定有界判别式下 $A_4$-四次域的数量？
• RQ4 是否存在一种适用于所有次数 $n > 2$ 的统一方法，避免对类群中 2-挠子群进行逐个情况分析？
• RQ5 函数域类比能否为数域情形中证明更强的界（特别是类群中的 2-挠子群）提供蓝图？

主要发现

• 对于三次与四次域，类群中的 2-挠子群满足 $h_2(K) = O_\epsilon(|\text{Disc}(K)|^{0.2784\ldots + \epsilon})$，显著优于平凡的 $O_\epsilon(|\text{Disc}(K)|^{1/2+\epsilon})$ 界。
• 对于次数 $n > 4$ 的数域，界进一步提升为 $h_2(K) = O_\epsilon(|\text{Disc}(K)|^{1/2 - \frac{1}{2n} + \epsilon})$，其中 $\delta_n = \frac{1}{2n} > 0$。
• 椭圆曲线 $E$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的 2-Selmer 群满足 $|\text{Sel}_2(E)| = O_\epsilon(|\text{Disc}(E)|^{0.2784\ldots + \epsilon})$，优于先前的界。
• 椭圆曲线 $E$ 的秩满足 $\text{rank}(E) < c_\epsilon + (0.2784\ldots + \epsilon)\log_2(|\text{Disc}(E)|)$，优于此前的 $1/2 + \epsilon$ 指数。
• 椭圆曲线上整点的数量至多为 $O_\epsilon(|\text{Disc}(E)|^{0.1117\ldots + \epsilon})$，优于先前的 $O_\epsilon(|\text{Disc}(E)|^{0.2007\ldots + \epsilon})$ 界。
• 判别式小于 $X$ 的 $A_4$-四次域的数量为 $O_\epsilon(X^{0.7784\ldots + \epsilon})$，优于先前的 $O_\epsilon(X^{5/6 + \epsilon})$ 界。