[论文解读] Bounds on eigenstate thermalization

Shoki Sugimoto, Ryusuke Hamazaki+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2023

Quantum many-body systems被引用 4

一句话总结

本文通过分析密度矩阵偏离其微正则平均值的波动，建立了量子多体系统中本征态热化现象的严格界限。利用哈尓测度平均和测度集中技术，推导出这些偏离的二阶矩在 1-范数和 2-范数下的紧致上下界，表明典型偏离量按 $ \mathcal{O}(\sqrt{\log d_{E,\Delta E}/D}) $ 缩放，从而在大 D 极限下确认了本征态热化假说。

ABSTRACT

The eigenstate thermalization hypothesis (ETH), which asserts that every eigenstate of a many-body quantum system is indistinguishable from a thermal ensemble, plays a pivotal role in understanding thermalization of isolated quantum systems. Yet, no evidence has been obtained as to whether the ETH holds for all few-body operators in a chaotic system; such few-body operators include key quantities in statistical mechanics, such as the total magnetization, the momentum distributions, and their low-order thermal and quantum fluctuations. Here, we formulate a conjecture that for a generic nonintegrable system the ETH holds for all $m$-body operators with $m < α_{\ast} N$ in the thermodynamic limit for some nonzero constant $α_{\ast} > 0$. We first prove this statement for systems with Haar-distributed energy eigenstates to analytically motivate our conjecture. We then verify the conjecture for generic spin, Bose, and Fermi systems with local and few-body interactions by large-scale numerical calculations. Our results imply that generic systems satisfy the ETH for all few-body operators, including their thermal and quantum fluctuations.

研究动机与目标

• 为了严格量化量子系统中本征态密度矩阵与其微正则平均值之间典型偏离的大小。
• 通过随机矩阵理论和哈尓测度平均，建立这些偏离的 1-范数和 2-范数的界限。
• 通过证明波动随系统尺寸 D 减小，从而确认本征态热化假说（ETH）。
• 推导在酉演化下密度矩阵偏离范数的集中不等式，确保典型行为接近平均值。
• 提供范数函数利普希茨常数的 D-无关上界，从而支持集中界限的建立。

提出的方法

• 使用哈尓测度计算偏离 $ \delta\hat{\rho}_{\alpha\beta} $ 的平方 2-范数的期望，得到 $ \mathbb{E}[\|\vec{X}\|_2^2] = \frac{M-1}{D^2-1}\|\hat{X}_0\|_2^2 $。
• 应用哈尓测度的四阶矩来估计平均平方偏离，从而得到 $ \mathbb{E}[(\|\delta\hat{\rho}_{\alpha\beta}\|_2^{(\mathcal{A})})^2] \in \left[\frac{1}{4}\frac{M}{D^2}, \frac{M}{D^2}\right] $ 的界限。
• 引入量 $ \Lambda_p(\hat{H},\mathcal{A}) \coloneqq \max_{|E_\alpha\rangle,|E_\beta\rangle} \|\delta\hat{\rho}_{\alpha\beta}\|_p^{(\mathcal{A})} $ 以表征能量本征态之间的最大偏离。
• 建立 $ \|\delta\hat{\rho}_{\alpha\beta}\|_p^{(\mathcal{A})} $ 作为酉算符 $ \hat{U} $ 的函数的利普希茨连续性，并给出与 D 无关的利普希茨常数上界 $ \eta_n $。
• 应用集中不等式，表明 $ \mathbb{E}[(\Lambda_p^{(\hat{H},\mathcal{A})})^n] = \mathbb{E}[(\|\delta\hat{\rho}_{\alpha\beta}\|_p^{(\mathcal{A})})^n] + \mathcal{O}(\sqrt{\log d_{E,\Delta E}/D}) $。
• 利用不等式 $ \|\cdot\|_2(A) \leq \|\cdot\|_1(A) \leq D\|\cdot\|_2(A) $ 将 2-范数结果推广至 1-范数，得到 $ \mathbb{E}[(\|\delta\hat{\rho}_{\alpha\beta}\|_1^{(\mathcal{A})})^2] \in \left[\frac{1}{4}\frac{M}{D^2}, \frac{M}{D}\right] $。

实验结果

研究问题

• RQ1 本征态密度矩阵与其微正则平均值之间的典型偏离量有多大？
• RQ2 这种偏离的 1-范数和 2-范数如何随系统尺寸 D 和能量窗口维数 $ d_{E,\Delta E} $ 变化？
• RQ3 能否通过限制 $ \delta\hat{\rho}_{\alpha\beta} $ 的波动来严格支持本征态热化假说？
• RQ4 函数 $ \|\delta\hat{\rho}_{\alpha\beta}\|_p^{(\mathcal{A})} $ 在酉演化算符 $ \hat{U} $ 上是否具有利普希茨连续性，且利普希茨常数与 D 无关？
• RQ5 在能量本征态之间，最大偏离 $ \Lambda_p(\hat{H},\mathcal{A}) $ 的集中行为如何？

主要发现

• 平方 2-范数的期望满足 $ \frac{1}{4}\frac{M}{D^2} \leq \mathbb{E}[(\|\delta\hat{\rho}_{\alpha\beta}\|_2^{(\mathcal{A})})^2] \leq \frac{M}{D^2} $，误差项为 $ \mathcal{O}(1/D^2) $。
• 1-范数偏离满足 $ \frac{1}{4}\frac{M}{D^2} \leq \mathbb{E}[(\|\delta\hat{\rho}_{\alpha\beta}\|_1^{(\mathcal{A})})^2] \leq \frac{M}{D} $，由于范数不等式中存在 D 因子，上界较弱。
• 最大偏离 $ \Lambda_p(\hat{H},\mathcal{A}) $ 集中在其中心，其期望值与真实值的偏差最多为 $ \mathcal{O}(\sqrt{\log d_{E,\Delta E}/D}) $。
• 范数函数的利普希茨常数 $ \eta_n $ 与 D 无关，从而可在高维系统中应用集中不等式。
• 推导出的界限确认了在大系统中本征态热化通常成立，因为偏离随 D 增大而衰减。
• 结果 $ \mathbb{E}[(\Lambda_p^{(\hat{H},\mathcal{A})})^n] = \mathbb{E}[(\|\delta\hat{\rho}_{\alpha\beta}\|_p^{(\mathcal{A})})^n] + \mathcal{O}(\sqrt{\log d_{E,\Delta E}/D}) $ 表明，在高维空间中，典型偏离量接近平均值。