[论文解读] Bounds on short character sums and L-functions for characters with a smooth modulus

William D. Banks, Igor E. Shparlinski|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用 4

一句话总结

该论文通过结合波斯特尼科夫方法与科罗博夫指数和估计的创新方式，为模数 $ q = p^\gamma $ 且模数光滑的本原特征和的短特征和以及狄利克雷 $ L $-函数建立了改进的界限。关键结果是在 $ N \geq \exp\left((\log q)^{2/3+\varepsilon}\right) $ 范围内获得了非平凡的特征和界限，从而导致 $ L(s,\chi) $ 的更强零点自由区域，以及模素数幂的短等差级数中素数分布渐近公式中误差项的改进。

ABSTRACT

We combine a classical idea of Postnikov (1956) with the method of Korobov (1974) for estimating double Weyl sums, deriving new bounds on short character sums when the modulus $q$ has a small core $\prod_{p\mid q}p$. Using this estimate, we improve certain bounds of Gallagher (1972) and Iwaniec (1974) for the corresponding $L$-functions. In turn, this allows us to improve the error term in the asymptotic formula for primes in short arithmetic progressions modulo a power of a fixed prime. As yet another application of our bounds, we substantially extend the region free of Siegel zeros.

研究动机与目标

• 针对模数具有小核心的情况，特别是当模数为素数幂时，改进现有短特征和的界限。
• 在 $ \Re(s) $ 接近 1 的情况下，为狄利克雷 $ L $-函数 $ L(s,\chi) $ 推导更强的估计，尤其关注零点自由区域。
• 改进模 $ p^\gamma $ 的短等差级数中素数个数渐近公式中的误差项。
• 将与光滑模数特征相关的狄利克雷 $ L $-函数的西格尔零点无区域扩展。

提出的方法

• 将波斯特尼科夫处理特征和的方法与科罗博夫估计含多项式双外尔和的方法相结合。
• 应用福特给出的冯·果德施米特均值定理的显式形式，以界定幂矩方程组解的个数。
• 利用关系式 $ N^\varrho = q $ 定义特征和界限中的指数，其中 $ \varrho $ 衡量和的长度相对于模数的大小。
• 推导出非平凡界限 $ S_\chi(M,N) \leq A N^{1 - \xi_0 / \varrho^2} $，适用于 $ N \geq \mathfrak{q}_{\sharp}^{\gamma_0} $，其中 $ A $、$ \xi_0 $、$ \gamma_0 $ 为绝对常数。
• 将改进的特征和界限应用于 $ L $-函数估计，并建立形如 $ \sigma > 1 - \vartheta $ 的零点自由区域，其中 $ \vartheta = \frac{a}{(\log x)^{2/3}(\log\log x)^{1/3}} $。
• 将结果推广至模数 $ q = rs $ 的情形，其中 $ r $ 与 $ s $ 互素，且 $ s $ 的 $ p $-进赋值满足主界限适用的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当模数具有小核心时，能否改进短区间上特征和的 Burgess 界？
• RQ2 模 $ p^\gamma $ 的短特征和界限 $ S_\chi(M,N) \ll N^{1-\delta} $ 中，最优指数 $ \delta $ 是多少？
• RQ3 改进的特征和界限如何影响 $ \Re(s) \approx 1 $ 时 $ L(s,\chi) $ 的零点自由区域？
• RQ4 模 $ p^\gamma $ 的短等差级数中素数定理的误差项在多大程度上可以减小？
• RQ5 对于光滑模数的特征，西格尔零点无区域能否显著扩展？

主要发现

• 论文建立了短特征和的非平凡界限：$ S_\chi(M,N) \leq A N^{1 - \xi_0 / \varrho^2} $，其中 $ N \geq \mathfrak{q}_{\sharp}^{\gamma_0} $，$ A $、$ \xi_0 $、$ \gamma_0 $ 为绝对常数。
• 该界限在 $ N \geq \exp\left((\log q)^{2/3+\varepsilon}\right) $ 时为非平凡，优于此前的阈值 $ \exp\left((\log q)^{3/4+\varepsilon}\right) $。
• 对 $ L(s,\chi) $ 的零点自由区域扩展至 $ \sigma > 1 - \vartheta $，其中 $ \vartheta = \frac{a}{(\log x)^{2/3}(\log\log x)^{1/3}} $，显著优于先前结果。
• 对 $ \psi(x+h;q,a) $ 的渐近公式中误差项减少至 $ \ll_{\varepsilon} \exp\left(-c_0 (\log x)^{1/3} (\log\log x)^{-1/3}\right) $，优于 Gallagher 和 Iwaniec 的界限。
• 该方法可推广至模数 $ q = rs $ 的情形，其中 $ r $ 较小，在 $ s $ 的 $ p $-进赋值满足适当条件时，仍保持界限的强度。
• 结果表明，对所有模 $ p^\gamma $ 的本原特征，$ L(s,\chi) $ 在区域 $ \sigma > 1 - \vartheta $ 且 $ |t| \leq q^C $ 内无零点，其中 $ \vartheta $ 如前所述。