[论文解读] Bounds on the density of states and the spectral gap in CFT$_{2}$

Shouvik Ganguly, Sridip Pal|arXiv (Cornell University)|May 29, 2019

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions被引用 4

一句话总结

该论文利用复Tauber定理和带限函数，改进了二维幺正模不变CFT中密度算符的Cardy公式O(1)校正的界。证明了当δ → 1⁻时下界的最优性，并确立了c > 1时连续Virasoro初级算符之间渐近间隙的猜想上界1，该上界由Monster CFT实现，排除了CFT谱中的Hadamard型间隙。

ABSTRACT

We improve the recently discovered upper and lower bounds on the $O(1)$ correction to the Cardy formula for the density of states integrated over an energy window (of width $2δ$), centered at high energy in 2 dimensional conformal field theory. We prove optimality of the lower bound for $δ o 1^{-}$. We prove a conjectured upper bound on the asymptotic gap between two consecutive Virasoro primaries for a central charge greater than $1,$ demonstrating it to be $1.$ Furthermore, a systematic method is provided to establish a limit on how tight the bound on the $O(1)$ correction to the Cardy formula can be made using bandlimited functions. The techniques and the functions used here are of generic importance whenever the Tauberian theorems are used to estimate some physical quantities.

研究动机与目标

• 改进二维CFT中密度算符的Cardy公式O(1)校正的上下界。
• 在δ → 1⁻极限下证明下界的最优性。
• 确立c > 1时连续Virasoro初级算符之间渐近间隙的猜想上界1，该上界为最优。
• 开发一种系统方法，用于估计由带限函数导出的界之紧致性。
• 探讨球堆积问题与利用带限函数寻找最优下界之间关系。

提出的方法

• 使用复Tauber定理，特别是Ingham定理，将高能密度算符与模形式的划分函数性质联系起来。
• 应用带限函数（具有有界傅里叶支撑）来推导O(1)校正项s(δ, Δ)的界，将其视为极值泛函。
• 推导出‘界上的界’，以确定使用带限函数时可达到的紧致性的理论极限。
• 利用自相关函数和功率谱密度的正定性来约束极值函数的形式。
• 将可实现的界与‘界上的界’进行比较，以评估进一步改进的潜力。
• 使用Monster CFT作为饱和示例，确认谱间隙界最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在二维CFT中利用带限函数更紧密地约束Cardy公式O(1)校正？
• RQ2 关于Virasoro初级算符之间渐近间隙的猜想上界1是否最优且普遍可实现？
• RQ3 当受限于带限函数时，O(1)校正界之紧致性的理论极限是什么？
• RQ4 球堆积问题是否为推导O(1)校正最优下界提供了有意义的类比或约束？
• RQ5 ‘界上的界’是否可被饱和？若可，其条件为何？

主要发现

• 在δ → 1⁻极限下，O(1)校正的下界被证明为最优，该值无法再被改进。
• 连续Virasoro初级算符之间渐近间隙的上界1被证明为最优，且由Monster CFT实现。
• 由带限函数导出的‘界上的界’设定了O(1)校正界可达到的紧致性的理论极限。
• 当δ = 1时，可实现的界与‘界上的界’一致，表明达到饱和且最优。
• 发现球堆积问题与利用带限函数最小化O(1)校正上界的问题之间存在新颖联系。
• 该方法表明，放松带限约束不会带来更优的界，从而在无此类限制下确认了δ → 1⁻下界最优性。