[论文解读] Bounds on the distance between a unital quantum channel and the convex hull of unitary channels, with applications to the asymptotic quantum Birkhoff conjecture

Nengkun Yu, Runyao Duan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2012

Quantum Information and Cryptography参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文利用量子信息与算子代数技术，建立了无迹量子通道与酉通道凸包之间距离的下界。研究证明，当维度 d ≥ 4 时，存在无法表示为酉通道凸组合的无迹 Schur 通道，从而为渐近量子 Birkhoff 猜想（AQBC）提供了明确的反例。

ABSTRACT

Motivated by the recent resolution of Asymptotic Quantum Birkhoff Conjecture (AQBC), we attempt to estimate the distance between a given unital quantum channel and the convex hull of unitary channels. We provide two lower bounds on this distance by employing techniques from quantum information and operator algebras, respectively. We then show how to apply these results to construct some explicit counterexamples to AQBC. We also point out an interesting connection between the Grothendieck's inequality and AQBC.

研究动机与目标

• 探究渐近量子 Birkhoff 猜想（AQBC）的有效性，该猜想认为任意无迹量子通道的张量幂可被酉通道的凸组合任意良好地逼近。
• 量化无迹量子通道与酉通道凸包之间的距离，特别是在高维系统中的表现。
• 通过识别无法表示为酉通道凸组合的无迹通道（特别是 Schur 通道），为 d ≥ 4 的情况构造 AQBC 的显式反例。
• 阐明 Schur 乘子及其算子范数性质在决定无迹通道结构及其被酉通道逼近能力方面的作用。

提出的方法

• 利用量子信息理论与算子空间理论技术，推导出无迹量子通道与酉通道凸包之间钻石范数距离的两个下界。
• 应用 Grothendieck 不等式，将 Schur 乘子的范数与最小常数 K 关联，使得 Schur 通道位于 K 倍的无迹对角通道凸包之内。
• 引入常数 $ K_{d,1}^{+} $，定义为最小的 K，使得所有 $ ext{L}( ext{H}_d) $ 上的无迹 Schur 通道均包含于 $ K imes ext{Conv}( ext{D}_d^+) $ 中，其中 $ ext{D}_d^+ $ 表示无迹对角通道的集合。
• 证明 $ K_{d,1}^{+} = K_d^{+} $，表明 Schur 乘子常数 $ K_d^{+} $ 控制无迹 Schur 通道被酉通道凸组合逼近的程度。
• 利用渐近增长关系 $ K_d^{+} o ext{const} imes ext{log} hinspace d $ 当 $ d o ext{infty} $，证明当 $ d o 4 $ 时 $ K_d^{+} > 1 $，从而表明严格包含关系不成立。
• 通过识别在 $ d o 4 $ 时不属于酉通道凸包的 Schur 通道，构造 AQBC 的显式反例。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多次通道使用的渐近极限下，是否每个无迹量子通道都可被酉通道的凸组合任意良好地逼近？
• RQ2 无迹量子通道与酉通道凸包之间的最小距离（在钻石范数下）是多少？其随系统维度 d 如何变化？
• RQ3 是否存在无法表示为酉通道凸组合的无迹 Schur 通道？若存在，这种现象在哪些维度 d 下发生？
• RQ4 Grothendieck 常数如何与无迹通道的结构及其被酉通道逼近的能力相关联？
• RQ5 最小常数 $ K_d $ 的精确值是多少，使得所有 $ ext{L}( ext{H}_d) $ 上的无迹 Schur 通道均位于 $ K_d $ 倍的无迹对角通道凸包之内？

主要发现

• 对于所有 $ d o 4 $，存在无法表示为酉通道凸组合的无迹 Schur 通道，因为 $ K_{d,1}^{+} = K_d^{+} > 1 $，证明当 $ d o 4 $ 时，包含关系 $ ext{Conv}( ext{D}_d^+) i ext{Schur channels} $ 是严格包含。
• 常数 $ K_d^{+} $ 满足 $ eta ext{log} hinspace d o K_d^{+} o eta ext{log} hinspace d $，其中 $ \beta $ 为某绝对常数，意味着当 $ d o ext{infty} $ 时 $ K_d^{+} o ext{const} imes ext{log} hinspace d $。
• 使得 $ K_d^{+} > 1 $ 的最小整数 $ d $ 为 $ d = 4 $，即 $ K_d^{+} = 1 $ 对于 $ d o 3 $ 成立，因此当 $ d o 3 $ 时，包含关系 $ ext{Conv}( ext{D}_d^+) i ext{Schur channels} $ 为等式。
• 对于所有 $ d o 4 $，渐近量子 Birkhoff 猜想（AQBC）存在显式反例，因为此类通道在渐近 regime 下无法被酉通道凸组合逼近。
• 该结果建立了 Grothendieck 不等式与 AQBC 之间的直接联系，表明 Grothendieck 常数 $ K_G $ 控制了渐近 regime 下的逼近误差。
• 本文证实，当 $ d o 4 $ 时，无迹 Schur 通道的集合严格大于酉通道的凸包，从而在一般意义上否定了 AQBC。