[论文解读] Bounds on the maximum multiplicity of some common geometric graphs

Adrian Dumitrescu, André Schulz+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 35被引用 37

一句话总结

本文建立了在一般位置的 n 个点上，非交叉几何图（如三角剖分、生成树、完美匹配和生成环）的最大数量的新下界和上界。通过引入广义双链配置，作者将三角剖分的下界提高至 Ω(8.65ⁿ)，将非交叉生成树的下界提高至 Ω(12.00ⁿ)，并利用近期的三角剖分上界，推导出非交叉生成环的上界为 O(68.62ⁿ)。研究还表明，最短和最长非交叉巡回、匹配和生成树均可存在指数级数量的实例，且对凸点集提供了 O(n log n) 时间复杂度的最长巡回计算算法。

ABSTRACT

We obtain new lower and upper bounds for the maximum multiplicity of some weighted and, respectively, non-weighted common geometric graphs drawn on n points in the plane in general position (with no three points collinear): perfect matchings, spanning trees, spanning cycles (tours), and triangulations. (i) We present a new lower bound construction for the maximum number of triangulations a set of n points in general position can have. In particular, we show that a generalized double chain formed by two almost convex chains admits Ω(8.65^n) different triangulations. This improves the bound Ω(8.48^n) achieved by the double zig-zag chain configuration studied by Aichholzer et al. (ii) We present a new lower bound of Ω(12.00^n) for the number of non-crossing spanning trees of the double chain composed of two convex chains. The previous bound, Ω(10.42^n), stood unchanged for more than 10 years. (iii) Using a recent upper bound of 30^n for the number of triangulations, due to Sharir and Sheffer, we show that n points in the plane in general position admit at most O(68.62^n) non-crossing spanning cycles. (iv) We derive lower bounds for the number of maximum and minimum weighted geometric graphs (matchings, spanning trees, and tours). We show that the number of shortest non-crossing tours can be exponential in n. Likewise, we show that both the number of longest non-crossing tours and the number of longest non-crossing perfect matchings can be exponential in n. Moreover, we show that there are sets of n points in convex position with an exponential number of longest non-crossing spanning trees. For points in convex position we obtain tight bounds for the number of longest and shortest tours. We give a combinatorial characterization of the longest tours, which leads to an O(nlog n) time algorithm for computing them.

研究动机与目标

• 改进在一般位置的 n 个点上，非交叉几何图（特别是三角剖分、生成树和完美匹配）的最大数量的下界。
• 利用已知的三角剖分界，推导出非交叉生成环数量的更紧致上界。
• 研究加权几何图的多重性，包括最短和最长非交叉巡回、匹配和生成树。
• 为凸点集上的最长非交叉生成巡回提供高效算法。

提出的方法

• 通过构造由两个近乎凸链组成的广义双链，以获得比以往双锯齿链更多的三角剖分数。
• 分析凸点集中的边跨度和旋转对称性，以枚举最长非交叉巡回。
• 应用 Sharir 和 Sheffer 关于三角剖分的 O(30ⁿ) 上界，推导出非交叉生成环的上界为 O(68.62ⁿ)。
• 利用最长巡回的组合特征，设计出在凸点集上时间复杂度为 O(n log n) 的算法。
• 使用反证法结合抽屉原理，排除最长巡回中某些边配置的可能性。
• 利用旋转对称性和边交换，高效地在 O(n) 时间内枚举所有最长巡回，适用于凸位置。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般位置的 n 个点上，三角剖分数是否可能超过 Ω(8.48ⁿ)，若是，超出多少？
• RQ2 在 n 个点的集合上，非交叉生成树的最大数量是多少，能否超越 Ω(10.42ⁿ) 的先前界限？
• RQ3 在当前对三角剖分的了解下，非交叉生成环数量的最紧致上界是什么？
• RQ4 对于一般位置的点集，最短和最长非交叉几何图（匹配、生成树、巡回）最多可以有多少种？
• RQ5 在一般位置的点集上，计算最长非交叉生成巡回是否为 NP-难问题？

主要发现

• 广义双链构造可产生 Ω(8.65ⁿ) 个三角剖分，优于以往双锯齿链构造的 Ω(8.48ⁿ) 最好下界。
• 由两个凸链构成的双链可支持 Ω(12.00ⁿ) 个非交叉生成树，超过先前的 Ω(10.42ⁿ) 界限。
• 在 n 个点上，非交叉生成环的数量最多为 O(68.62ⁿ)，该结果由三角剖分的 O(30ⁿ) 上界推导而来。
• 即使在一般位置的点集中，最短和最长非交叉巡回的数量也均可呈指数级增长。
• 对于凸位置的点集，所有最长非交叉巡回可在 O(n log n) 时间内计算得出，当循环顺序已知时，存在 O(n) 时间的算法。
• 最长巡回的组合特征使我们能够设计出在凸点集上时间复杂度为 O(n log n) 的算法来计算它们。