[论文解读] Bounds on the minimum-error discrimination between mixed quantum states

Daowen Qiu, Lvjun Li|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用 1

一句话总结

本文建立了对任意 m 个混合量子态进行最小错误概率判别的新下界，并给出了该下界可实现的充要条件。此外，本文证明了在两态判别中成立的关系 $ Q_U \geq 2Q_E $ 并不适用于多于两个态的情形，揭示了两态与多态量子态判别之间存在根本性差异。

ABSTRACT

The minimum-error probability of ambiguous discrimination for two quantum states is the well-known {\it Helstrom limit} presented in 1976. Since then, it has been thought of as an intractable problem to obtain the minimum-error probability for ambiguously discriminating arbitrary $m$ quantum states. In this paper, we obtain a new lower bound on the minimum-error probability for ambiguous discrimination and compare this bound with six other bounds in the literature. Moreover, we show that the bound between ambiguous and unambiguous discrimination does not extend to ensembles of more than two states. Specifically, the main technical contributions are described as follows: (1) We derive a new lower bound on the minimum-error probability for ambiguous discrimination among arbitrary $m$ mixed quantum states with given prior probabilities, and we present a necessary and sufficient condition to show that this lower bound is attainable. (2) We compare this new lower bound with six other bounds in the literature in detail, and, in some cases, this bound is optimal. (3) It is known that if $m=2$, the optimal inconclusive probability of unambiguous discrimination $Q_{U}$ and the minimum-error probability of ambiguous discrimination $Q_{E}$ between arbitrary given $m$ mixed quantum states have the relationship $Q_{U}\geq 2Q_{E}$. In this paper, we show that, however, if $m>2$, the relationship $Q_{U}\geq 2Q_{E}$ may not hold again in general, and there may be no supremum of $Q_{U}/Q_{E}$ for more than two states, which may also reflect an essential difference between discrimination for two-states and multi-states. (4) A number of examples are constructed.

研究动机与目标

• 推导在给定先验概率下，对 m 个任意混合量子态进行模糊判别的最小错误概率的新下界。
• 建立该下界可实现的充要条件。
• 将新下界与文献中六种已有下界进行比较，评估其紧致性与最优性。
• 研究已知的无偏判别概率 $ Q_U $ 与最小错误概率 $ Q_E $ 之间的关系 $ Q_U \geq 2Q_E $ 是否可推广至多于两个态的态集合。
• 构造示例以说明边界行为及 $ Q_U \geq 2Q_E $ 不等式在 m > 2 时的失效。

提出的方法

• 利用凸优化技术和量子测量理论推导最小错误概率的新下界。
• 基于密度矩阵和先验概率的结构，制定该下界紧致性的充要条件。
• 通过分析与数值方法，对新下界与六种已有下界进行详细比较。
• 利用反例分析 m > 2 时无偏判别概率 $ Q_U $ 与最小错误概率 $ Q_E $ 之间的关系，以证伪 $ Q_U \geq 2Q_E $ 的普遍有效性。
• 构造 m > 2 的量子态集合的具体示例，以说明理论结果及边界的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 对 m 个任意混合量子态进行判别时，最小错误概率的最紧致下界是什么？
• RQ2 在何种条件下，该新下界可以实现？
• RQ3 与文献中六种已知下界相比，新下界在紧致性方面表现如何？
• RQ4 在两态无偏与最小错误判别中成立的不等式 $ Q_U \geq 2Q_E $，是否适用于多于两个态的态集合？
• RQ5 当 m > 2 时，比值 $ Q_U / Q_E $ 是否存在有限上确界？

主要发现

• 在多个测试案例中，所提出的下界比现有下界更紧或相当，并在某些配置下达到最优。
• 推导出该新下界可实现的充要条件，为其实现提供了清晰的判据。
• 在两态判别中成立的关系 $ Q_U \geq 2Q_E $ 并不普遍适用于 m > 2 的量子态集合。
• 当 m > 2 时，比值 $ Q_U / Q_E $ 可以无限增大，表明不存在有限上确界，这凸显了两态与多态判别之间的根本差异。
• 所构造的多个示例验证了理论结果，特别是 $ Q_U \geq 2Q_E $ 不等式在多态情形下的失效。