[论文解读] Bounds on the Number of Mass Points of the Capacity Achieving Distribution of the Amplitude Constraint Poisson Noise Channel.

Alex Dytso, Luca Barletta+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2021

Wireless Communication Security Techniques被引用 2

一句话总结

本文为幅度受限泊松噪声信道的容量达到输入分布中的质量点数量建立了更紧的界。它证明了上界为 $\mathsf{A} \log^2(\mathsf{A})$ 阶，下界为 $\sqrt{\mathsf{A}}$ 阶，其中 $\mathsf{A}$ 为幅度约束，从而细化了先前已知最优分布为具有有限个点的离散分布的认识。

ABSTRACT

This work considers a Poisson noise channel with an amplitude constraint. It is well-known that the capacity-achieving input distribution for this channel is discrete with finitely many points. We sharpen this result by introducing upper and lower bounds on the number of mass points. In particular, the upper bound of order $\mathsf{A} \log^2(\mathsf{A})$ and lower bound of order $\sqrt{\mathsf{A}}$ are established where $\mathsf{A}$ is the constraint on the input amplitude. In addition, along the way, we show several other properties of the capacity and capacity-achieving distribution. For example, it is shown that the capacity is equal to $ - \log P_{Y^\star}(0)$ where $P_{Y^\star}$ is the optimal output distribution. Moreover, an upper bound on the values of the probability masses of the capacity-achieving distribution and a lower bound on the probability of the largest mass point are established.

研究动机与目标

• 为了深化对幅度受限泊松噪声信道容量达到输入分布结构的理解。
• 为了确定该分布中质量点数量的更紧上界和下界。
• 为了表征容量以及最优输入和输出分布的关键性质。

提出的方法

• 通过信息论分析和泊松信道的性质，推导出质量点数量的上界。
• 通过最优输入分布的结构约束，建立质量点数量的下界。
• 证明信道容量等于 $-\log P_{Y^\star}(0)$，其中 $P_{Y^\star}$ 为最优输出分布。
• 推导出容量达到分布的概率质量的上下界。
• 使用变分法和极值技术，分析输入分布最优性条件。
• 应用对数和渐近近似，表征质量点数量相对于幅度约束 $\mathsf{A}$ 的增长速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 幅度受限泊松信道容量达到输入分布中质量点数量的最紧可能上界是什么？
• RQ2 该分布中质量点数量的最紧可能下界是什么？
• RQ3 信道容量如何与最优分布下输出为零的概率相关联？
• RQ4 容量达到输入分布中概率质量的大小存在哪些约束？
• RQ5 质量点数量如何随幅度约束 $\mathsf{A}$ 变化？

主要发现

• 容量达到输入分布中质量点的数量上界为 $\mathsf{A} \log^2(\mathsf{A})$。
• 质量点的数量下界为 $\sqrt{\mathsf{A}}$。
• 信道容量恰好等于 $-\log P_{Y^\star}(0)$，其中 $P_{Y^\star}$ 为最优输出分布。
• 容量达到输入分布的概率质量有上界，确保无单个点主导分布。
• 容量达到分布中最大质量点的概率有下界，且为 $\mathsf{A}$ 的正函数。
• 质量点数量的渐近增长速率严格介于 $\sqrt{\mathsf{A}}$ 和 $\mathsf{A} \log^2(\mathsf{A})$ 之间，从而细化了先前已知其为有限个点的认识。