[论文解读] Bounds on the tail probability of U-statistics and quadratic forms

Víctor Peña, Stephen Montgomery-Smith|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 1993

Probability and Risk Models被引用 5

一句话总结

本文通过引入一种新的去耦不等式，将依赖的U统计量的尾部行为与独立副本的去耦版本进行比较，建立了U统计量和二次型的尾部概率的精确界限。关键结果表明，U统计量的尾部概率受其去耦版本尾部概率的常数倍所限制，且在对称性条件下反向不等式也成立，从而在高维和函数型设定下实现了强大的概率转移。

ABSTRACT

The authors announce a general tail estimate, called a decoupling inequality, for a symmetrized sum of non-linear $k$-correlations of $n>k$ independent random variables.

研究动机与目标

• 建立广义U统计量和二次型尾部概率的通用界限。
• 提出一种将依赖的U统计量与其独立对应物联系起来的去耦不等式。
• 将现有针对多重线性型和凸泛函的去耦结果推广至更广泛的U统计量类别。
• 为从独立随机变量之和向U统计量转移结果提供理论基础。

提出的方法

• 使用原始随机变量的k个独立副本构建去耦框架，以替代依赖的U统计量。
• 将极化版本的U统计量核作为分析的核心工具。
• 应用改进的Paley-Zygmund不等式和对称化恒等式以控制尾部概率。
• 利用一个通用的对称化引理（引理1）将随机变量的范数与其与i.i.d.副本之和的范数关联起来。
• 通过伯努利随机变量建模在原始副本与独立副本之间的随机切换，推导条件界限。
• 通过在原始U统计量超过阈值的事件集上进行积分，建立主不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 U统计量的尾部概率能否用其去耦版本来界定？
• RQ2 最优常数Ck为何值，使得U统计量的尾部被其去耦形式尾部的Ck倍所控制？
• RQ3 在何种条件下反向不等式成立，从而确保去耦界限的紧致性？
• RQ4 对称化和矩不等式如何用于控制多重线性型的尾部行为？
• RQ5 该去耦不等式能否推广至对称或凸泛函之外的范围？

主要发现

• 存在一个仅依赖于k的绝对常数Ck > 0，使得U统计量的尾部概率受其去耦版本尾部概率的Ck倍所控制。
• 在核函数满足对称性条件时，反向不等式成立，常数为1/Ck，确保了界限的紧致性。
• 证明依赖于一个新颖的对称化引理（引理1），其表明对i.i.d.的X, Y，有P(∥X∥ ≥ t) ≤ 3P(∥X + Y∥ ≥ 2t/3)。
• 通过使用伯努利切换变量的条件去耦论证，可将依赖和简化为与独立副本的比较。
• 该方法适用于一般U统计量和二次型，在随机图、矩阵理论和随机积分中有应用。
• 该结果推广并统一了先前的去耦不等式，包括McConnell和Taqqu以及de Acosta等人提出的结果。