[论文解读] Bounds on the Total Coefficient Size of Nullstellensatz Proofs of the Pigeonhole Principle

Aaron Potechin, Aaron Zhang|arXiv (Cornell University)|May 7, 2022

Mathematics and Applications被引用 1

一句话总结

本文為鸽巢原理和排序原理的希尔伯特零点定理证明建立了总系数大小的指数下界与上界。它引入了总系数大小作为衡量证明复杂性的新指标，证明鸽巢原理的证明需要 2Ω(n) 的系数大小，而排序原理的证明可构造为 2n − n 的总系数大小，提供了超越度与证明大小权衡的新见解。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the total coefficient size of Nullstellensatz proofs. We show that Nullstellensatz proofs of the pigeonhole principle on $n$ pigeons require total coefficient size $2^{Ω(n)}$ and that there exist Nullstellensatz proofs of the ordering principle on $n$ elements with total coefficient size $2^n - n$.

研究动机与目标

• 研究总系数大小作为希尔伯特零点定理证明的一种新复杂性度量，与证明度和大小相区分。
• 为鸽巢原理建立总系数大小的指数下界，弥补现有大小-度权衡中的空白。
• 为排序原理提供总系数大小的指数上界，展示高效证明构造的可能性。
• 探讨总系数大小对更强证明系统（包括类似分辨率和平方和系统）的影响。
• 识别基本组合原理在系数大小复杂性方面的开放问题。

提出的方法

• 将总系数大小 T(f) 定义为多项式系数绝对值之和。
• 将希尔伯特零点定理证明的最小总系数大小表述为一个线性规划问题：在满足 ∑piqi = 1 的条件下，最小化 ∑T(qi)。
• 通过使用公理的单项式弱化形式（例如 r·pi = 0）来构建结构化的证明组件。
• 对于鸽巢原理，通过对其对称系统中系数增长的组合分析，推导出下界。
• 对于排序原理，利用传递性和非最小性公理构造一个平方和证明，实现受控的系数增长。
• 利用代数恒等式和布尔约束（xij² = xij, xijxji = 0）在公理模下验证正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 总系数大小能否为鸽巢原理提供强于度或大小权衡的更强下界？
• RQ2 当鸽子数量超过 n 只，而鸽舍只有 n−1 个时，最小总系数大小如何随鸽子数量增长？
• RQ3 尽管具有动态特性，类似分辨率的证明能否为排序原理实现多项式总系数大小？
• RQ4 添加鸽子到鸽舍的唯一性公理对鸽巢原理的最小总系数大小有何影响？
• RQ5 能否利用强证明系统（如平方和）的总系数大小来为弱系统（如分辨率）的大小提供下界？

主要发现

• n 只鸽子与 n−1 个鸽舍的鸽巢原理的希尔伯特零点定理证明，其总系数大小为 Ω(n³/⁴(2/√e)^n)，建立了指数下界。
• 存在一个 n 个元素的排序原理的希尔伯特零点定理证明，其总系数大小为 2n − n，展示了指数上界。
• 鸽巢原理的下界无法由现有的大小-度权衡推导，因为即使证明大小很大，系数大小仍可能很小。
• 排序原理的证明通过利用传递性和非最小性公理的平方和恒等式构造，其正确性在布尔约束模下得到验证。
• 总系数大小不能由证明大小推导，因为证明可能包含大量单项式但系数值很小。
• 本文识别出关于不同证明系统之间系数大小分离的开放问题，包括分辨率与平方和系统之间潜在的分离。