[论文解读] Bousfield Localization and Eilenberg-Moore Categories

Michael Batanin, David White|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文建立了在单一半模型范畴中，左博斯菲尔德局部化保持单子代数的五个条件之间的等价性。在温和假设下，证明了将局部化提升至代数、保持局部等价、以及传递半模型结构等条件全部等价，统一了先前的方法，并为研究彩色操作子、谱和链复形上的局部化代数的同伦理论提供了全面的框架。

ABSTRACT

We prove the equivalence of several hypotheses that have appeared recently in the literature for studying left Bousfield localization and algebras over a monad. We find conditions so that there is a model structure for local algebras, so that localization preserves algebras, and so that localization lifts to the level of algebras. We include examples coming from the theory of colored operads, and applications to spaces, spectra, and chain complexes.

研究动机与目标

• 统一文献中关于左博斯菲尔德局部化在何种条件下保持单子代数结构的多种不同方法。
• 确定局部化能提升至单子代数范畴的必要且充分条件。
• 阐明局部化保持代数、传递半模型结构与保持局部等价性之间的关系。
• 提供一个适用于空间、谱、链复形和彩色操作子的通用框架。
• 在半模型范畴的背景下，建立五个关键同伦条件之间的全面等价性。

提出的方法

• 将设定形式化为一个单一半模型范畴 $\mathcal{M}$，其中包含一个单子 $T$ 和一组用于局部化的映射 $\mathcal{C}$。
• 在半模型范畴的背景下工作，以处理全模型结构可能不存在的情况，特别是操作子代数的情形。
• 以 $\mathrm{Alg}_T(\mathcal{M})$ 上的传递半模型结构作为基础假设。
• 将 $L_{\mathcal{C}}(\mathcal{M})$ 定义为左博斯菲尔德局部化（假设其存在），并分析其与 $T$-代数的相互作用。
• 建立以下五者的等价性：(1) 将 $L_{\mathcal{C}}$ 提升至 $\mathrm{Alg}_T(\mathcal{M})$ 上的 $L_{T(\mathcal{C})}$，(2) $U$ 保持局部等价，(3) $\mathrm{Alg}_T(L_{\mathcal{C}}(\mathcal{M}))$ 允许传递半模型结构，(4) $L_{\mathcal{C}}$ 保持 $T$-代数，(5) $T$ 在可换对象上保持 $\mathcal{C}$-局部等价。
• 证明一个部分逆定理：若 (5) 成立且 $T$ 满足温和假设，则 $U$ 反映局部弱等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，左博斯菲尔德局部化保持单子代数？
• RQ2 何时局部化能从基范畴提升至 $T$-代数范畴？
• RQ3 在局部化范畴中，单子代数的范畴何时能继承一个传递半模型结构？
• RQ4 遗忘函子保持局部等价性与局部化提升之间有何关系？
• RQ5 若单子在可换对象上保持 $\mathcal{C}$-局部等价，能对遗忘函子得出什么结论？

主要发现

• 在所述假设下，五个条件——将局部化提升至代数、保持局部等价、传递半模型结构、保持 $T$-代数，以及单子在可换对象上保持局部等价——全部等价。
• 遗忘函子 $U: \mathrm{Alg}_T(\mathcal{M}) \to \mathcal{M}$ 保持局部等价当且仅当 $L_{\mathcal{C}}$ 能提升至 $\mathrm{Alg}_T(\mathcal{M})$ 上的局部化。
• 若 $\mathrm{Alg}_T(L_{\mathcal{C}}(\mathcal{M}))$ 允许传递半模型结构，则 $L_{\mathcal{C}}$ 保持 $T$-代数。
• 若其他任一条件成立，则单子 $T$ 保持可换对象之间的 $\mathcal{C}$-局部等价。
• 若 $T$ 保持可换对象上的 $\mathcal{C}$-局部等价且满足温和假设，则遗忘函子 $U$ 反映局部弱等价。
• 该结果广泛适用于空间、谱、链复形以及彩色操作子代数等例子，特别是 $\Sigma$-可换或逐项可换操作子的情形。