[论文解读] Bowditch's JSJ tree and the quasi-isometry classification of certain Coxeter groups, with an appendix written jointly with Christopher Cashen

Pallavi Dani, Anne Thomas|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 53被引用 17

一句话总结

本文为一类非共 compact Fuchsian、且允许可分裂至 2-端子群的 2 维、1-端、双曲右正则 Coxeter 群，提供了 Bowditch 的 JSJ 树的可视化、算法化构造。通过将树的结构直接关联至定义图 Γ 的图论特征（如割对与分离性质），本文证明该 JSJ 树是此类别下的完全拟等距不变量，从而实现拟等距问题的可判定性。关键贡献在于，通过 Γ 上明确的组合条件，实现了 JSJ 树的可计算、可视化表征。

ABSTRACT

Bowditch's JSJ tree for splittings over 2-ended subgroups is a quasi-isometry invariant for 1-ended hyperbolic groups which are not cocompact Fuchsian. Our main result gives an explicit, computable "visual" construction of this tree for certain hyperbolic right-angled Coxeter groups. As an application of our construction we identify a large class of such groups for which the JSJ tree, and hence the visual boundary, is a complete quasi-isometry invariant, and thus the quasi-isometry problem is decidable. We also give a direct proof of the fact that among the Coxeter groups we consider, the cocompact Fuchsian groups form a rigid quasi-isometry class. In an appendix, written jointly with Christopher Cashen, we show that the JSJ tree is not a complete quasi-isometry invariant for the entire class of Coxeter groups we consider.

研究动机与目标

• 为特定类别的右正则 Coxeter 群提供 Bowditch JSJ 树的可视化、算法化构造。
• 证明 JSJ 树是此类别下完全的拟等距不变量，从而实现拟等距问题的可判定性。
• 证明共 compact Fuchsian Coxeter 群在此类别中构成一个刚性拟等距类。
• 证明 JSJ 树并非对所考虑的整个 Coxeter 群类完全不变量，如附录所示。

提出的方法

• 利用定义图 Γ 的图论性质（特别是割对与分离行为）构造 JSJ 树。
• 将 JSJ 树中顶点与边的稳定子群与 WΓ 的特殊子群（如无限二面体群及对合元的自由积）的共轭关联。
• 通过 Davis 复形的边界结构及视觉边界 ∂WΓ 分析局部割点，并将其与树的顶点对应。
• 应用 Lafont 与 Papasoglu 关于拟等距与边界同胚映射的技术，分析边界分解空间上的诱导映射。
• 利用边界中的 Whitehead 图与割集，通过分解空间的拓扑不变量区分拟等距类型。
• 通过证明分解空间中最小割集大小是同胚不变量，建立 Wn+1 与 Wm+1 之间仅当 n = m 时存在拟等距关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从定义图 Γ 显式且可视化地构造某些右正则 Coxeter 群的 Bowditch JSJ 树？
• RQ2 JSJ 树是否为非共 compact Fuchsian 的 2 维、1-端、双曲右正则 Coxeter 群类的完全拟等距不变量？
• RQ3 Γ 中割对的存在是否精确对应于 WΓ 中对 2-端子群的非平凡分裂？
• RQ4 此类 Coxeter 群的拟等距类能否被算法判定？
• RQ5 JSJ 树是否为所考虑的整个 Coxeter 群类的完全不变量，还是存在例外？

主要发现

• WΓ 的 JSJ 树由定义图 Γ 可视化确定：其顶点与边分别对应于 Γ 中满足明确图论条件的顶点子集。
• 存在一个算法，可对满足既定假设的群计算 WΓ 的 JSJ 树，使构造完全可计算。
• 对于指定的 Coxeter 群类，JSJ 树是完全的拟等距不变量，意味着拟等距问题可判定。
• 共 compact Fuchsian Coxeter 群构成一个刚性拟等距类，即仅与自身拟等距。
• JSJ 树并非对所考虑的整个 Coxeter 群类完全不变量，如附录所示，存在非同构群共享相同 JSJ 树的反例。
• 自由群 Fn 的边界分解空间中最小割集大小是同胚不变量，当 n ≠ m 时可区分 Wn+1 与 Wm+1，从而证明此情形下非拟等距。