[论文解读] Bowen factors, their degree, and codings of surface diffeomorphisms

Jérôme Buzzi|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文证明了由 O. Sarig 构造的曲面微分同胚的符号有限对一扩张，在某些情况下通过 Bowen 性质和次数理论，在大不变集上诱导出 Hölder 连续共轭，并可能保持传递性。该研究改进了 Sarig 对周期点数量的下界估计，并刻画了所有非周期双曲测度可进行 Hölder 连续编码的曲面微分同胚。

ABSTRACT

We show that symbolic finite-to-one extensions of the type constructed by O. Sarig for surface diffeomorphisms induce H\older-continuous conjugacies on large sets, sometimes preserving transitivity. We deduce this from their Bowen property. This notion, introduced in a joint work with M. Boyle, generalizes a fact first observed by R. Bowen for Markov partitions. We use the notion of degree from finite equivalence theory and magic word isomorphisms. As an application, we improve Sarig's lower bound on the number of periodic points for surface diffeomorphisms. Finally we characterize surface diffeomorphisms admitting a H\older-continuous coding of all their aperiodic hyperbolic measures.

研究动机与目标

• 理解曲面微分同胚的符号有限对一扩张的动力学影响，特别是其正则性与结构保持性。
• 通过符号扩张框架中 Bowen 性质的概念，推广 R. Bowen 关于马尔可夫划分的古典结果。
• 利用有限等价理论和神奇词同构，改进曲面微分同胚中周期点数量的下界估计。
• 通过次数和扩张理论，刻画可对所有非周期双曲测度实现 Hölder 连续编码的曲面微分同胚。

提出的方法

• 利用 Bowen 性质——最初用于马尔可夫划分，此处扩展至符号有限对一扩张——在大不变集上建立 Hölder 连续共轭。
• 应用有限等价理论中的次数概念，分析符号扩张的结构与多重性。
• 采用神奇词同构，将符号扩张与底层动力系统关联，促进共轭构造。
• 利用 Bowen 性质与次数之间的相互作用，推导周期点增长的定量下界。
• 通过扩张的结构性质与正则性条件，刻画非周期双曲测度存在 Hölder 连续编码的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，曲面微分同胚的符号有限对一扩张会在大不变集上诱导出 Hölder 连续共轭？
• RQ2 符号扩张中的 Bowen 性质如何推广经典结果中关于双曲动力系统马尔可夫划分的结论？
• RQ3 利用次数与神奇词同构，对 Sarig 的周期点数量下界估计有何精确改进？
• RQ4 哪些曲面微分同胚可对所有非周期双曲测度实现 Hölder 连续编码？其特征是什么？

主要发现

• 曲面微分同胚的符号有限对一扩张在大不变集上诱导出 Hölder 连续共轭，在某些情况下保持传递性。
• 此类扩张中的 Bowen 性质推广了 R. Bowen 关于马尔可夫划分的古典结果，使其适用范围扩展至更广泛的符号系统。
• 本文利用次数理论与神奇词同构，改进了 Sarig 对曲面微分同胚中周期点数量的下界估计。
• 基于扩张结构与正则性，获得了可对所有非周期双曲测度实现 Hölder 连续编码的曲面微分同胚的完整刻画。