[论文解读] Box-counting fractal strings, zeta functions, and equivalent forms of Minkowski dimension

Michel L. Lapidus, John A. Rock+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用 15

一句话总结

本文引入了盒计数分形弦与盒计数ζ函数，以表征欧氏空间中有界集的闵可夫斯基维数。研究证明，盒计数ζ函数的收敛横坐标等于上盒计数维数，统一了多种闵可夫斯基维数的定义，并将复维数理论推广至任意有界集。

ABSTRACT

We discuss a number of techniques for determining the Minkowski dimension of bounded subsets of some Euclidean space of any dimension, including: the box-counting dimension and equivalent definitions based on various box-counting functions; the similarity dimension via the Moran equation (at least in the case of self-similar sets); the order of the (box-)counting function; the classic result on compact subsets of the real line due to Besicovitch and Taylor, as adapted to the theory of fractal strings; and the abscissae of convergence of new classes of zeta functions. Specifically, we define box-counting zeta functions of infinite bounded subsets of Euclidean space and discuss results pertaining to distance and tube zeta functions. Appealing to an analysis of these zeta functions allows for the development of theories of complex dimensions for bounded sets in Euclidean space, extending techniques and results regarding (ordinary) fractal strings obtained by the first author and van Frankenhuijsen.

研究动机与目标

• 统一并推广欧氏空间中有界子集的闵可夫斯基维数的现有定义。
• 利用盒计数ζ函数，为任意有界集建立复维数理论。
• 将分形弦与复维数理论的框架从经典的自相似集推广至一般有界集。
• 将ζ函数（盒计数、距离、管）与闵可夫斯基内容及可测性联系起来。
• 提出关于分形管公式与复维数下体积渐近逼近的开放问题。

提出的方法

• 将盒计数分形弦定义为通过半径为ε⁻¹的球覆盖集合后所得区间的集合。
• 引入盒计数ζ函数ζ_B(s) = ∑ r_j^s，其中r_j为盒计数分形弦中区间的长度。
• 证明ζ_B(s)的收敛横坐标等于该集合的上盒计数维数。
• 将盒计数ζ函数与先前工作（如[17]）中引入的距离ζ函数和管ζ函数相联系。
• 利用复维数理论——即ζ函数的亚纯延拓的极点——分析闵可夫斯基内容与可测性。
• 应用分形弦理论（如[19]）的结果，推导高维集合的类比结果，包括分形管公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过ζ函数的收敛横坐标表征ℝ^m中有界集的闵可夫斯基维数？
• RQ2 盒计数ζ函数与其他ζ函数（如距离ζ函数和管ζ函数）之间存在何种关系？
• RQ3 能否利用距离ζ函数的复维数为一般有界集推导出分形管公式？
• RQ4 在何种条件下，盒计数ζ函数的复维数可决定闵可夫斯基内容的渐近行为？
• RQ5 如何用ζ函数的留数与复维数表示集合ε-邻域的体积？

主要发现

• 盒计数ζ函数ζ_B(s)的收敛横坐标等于集合A的上盒计数维数。
• 上盒计数维数、上闵可夫斯基维数以及盒计数分形弦计数函数的增长阶数三者等价。
• 距离ζ函数ζ_d(s)的收敛横坐标也等于集合A的上闵可夫斯基维数。
• 距离ζ函数的复维数与集合A的闵可夫斯基内容及可测性相关联。
• 管ζ函数ζ_t(s)及其复维数为高维空间中分形管公式的推导提供了框架。
• 开放问题表明，在适当的生长条件下，集合ε-邻域的体积|A_ε|可渐近表示为ζ函数留数之和，模以误差项。