[论文解读] BPS algebras and generalised Kac-Moody algebras from 2-Calabi-Yau categories

Ben Davison, Lucien Hennecart+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2023

Algebraic structures and combinatorial models被引用 4

一句话总结

本文通過證明具有良好模空間的2-卡比-尤au範疇的BPS代數同構於廣義卡克斯-莫迪Lie代數正部分的通用包絡代數，建立了2-卡比-尤au範疇與廣義卡克斯-莫迪Lie代數之間的深刻聯繫。該代數的卡坦資料由模空間連通分支的交集上同調所編碼，統一了多種幾何與表示論結構，並證明了組合學與代數幾何中的重大猜想。

ABSTRACT

We determine the structure of the BPS algebra of 2-Calabi-Yau Abelian categories for which the stack of objects admits a good moduli space. We prove that this algebra is isomorphic to the positive part of the enveloping algebra of a generalised Kac-Moody Lie algebra generated by the intersection cohomology of certain connected components (corresponding to roots) of the good moduli space. Some major examples include the BPS algebras of (1) the category of semistable coherent sheaves of given slope on a K3 surface or, more generally, quasiprojective symplectic surface, (2) semistable Higgs bundles on a smooth projective curve, (3) preprojective algebras of quivers, (4) multiplicative preprojective algebras and (5) fundamental groups of (quiver) Riemann surfaces. We define the BPS Lie algebras of 2-Calabi-Yau categories and prove that they coincide with the ones obtained by dimensional reduction from the critical cohomological Hall algebra in the case in which the 2-Calabi-Yau category is the category of representations of a preprojective algebra. Consequences include (1) A proof in full generality of the Bozec-Schiffmann positivity conjecture for absolutely cuspidal polynomials, a strengthening of the Kac positivity conjecture (2) A proof of the cohomological integrality conjecture for the category of semistable coherent sheaves on local K3 surfaces (3) A description of the cohomology (in all degrees) of Nakajima quiver varieties as direct sums of irreducible lowest weight representations over the BPS Lie algebra.

研究动机与目标

• 建立2-卡比-尤au範疇中BPS代數與廣義卡克斯-莫迪Lie代數之間的結構聯繫。
• 證明BPS代數為廣義卡克斯-莫迪代數正部分的通用包絡代數。
• 表明此Lie代數的卡坦資料由對象的良好模空間之連通分支的交集上同調所決定。
• 將此框架應用於證明表示理論與計數幾何中的長期猜想，包括博澤克-施菲曼正性猜想與中嶋quiver多面體的上同調整數性。

提出的方法

• 作者使用[DHS22]中的BPS代數構造，該構造透過2-卡比-尤au範疇中對象的模堆疊的博雷爾-莫爾上同調定義。
• 他們分析對象的良好模空間的幾何性質，專注於對應於根的連通分支，並計算其交集上同調以定義廣義卡克斯-莫迪代數的卡坦矩陣。
• BPS Lie代數透過臨界上同調霍爾代數的維度約化構造，特別是在預投射代數的情形下。
• 利用BPS層到上同調霍爾代數的單射映射，證明BPS代數的結構同構於廣義卡克斯-莫迪代數正部分的通用包絡代數。
• 該框架應用於關鍵例子：K3曲面上的半穩定層、曲線上的希格斯束、預投射代數與乘法預投射代數。
• 該方法依賴混合霍赫德模與 perverse sheaves，並引入等變與幂零變體以細化結構並證明進一步的正性結果。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有良好對象模空間的2-卡比-尤au範疇的BPS代數與廣義卡克斯-莫迪Lie代數之間有何關係？
• RQ2 從此類範疇產生的廣義卡克斯-莫迪代數的卡坦矩陣，其精確幾何與上同調資料為何？
• RQ3 在預投射代數的情形下，BPS Lie代數能否透過臨界上同調霍爾代數的維度約化構造？
• RQ4 BPS代數結構是否統一了已知的海森堡代數與卡克斯-莫迪代數作用於quiver多面體上同調的結果？
• RQ5 此框架能否證明博澤克-施菲曼對絕對純 cuspidal 多項式的正性猜想，以及中嶋quiver多面體的上同調整數性？

主要发现

• 具有良好對象模空間的2-卡比-尤au範疇的BPS代數同構於廣義卡克斯-莫迪Lie代數正部分的通用包絡代數。
• 此Lie代數的卡坦資料由對象良好模空間之連通分支的交集上同調明確給出。
• 在預投射代數的情形下，BPS Lie代數與臨界上同調霍爾代數的維度約化一致。
• 該框架在完全一般性下證明了博澤克-施菲曼對絕對純 cuspidal 多項式的正性猜想，強化了卡克斯正性猜想。
• 中嶋quiver多面體的上同調可分解為BPS Lie代數上不可約最低權模的直和，解決了中嶋長期以來的疑問。
• 利用此框架證明了局部K3曲面上半穩定凝聚層的上同調整數性猜想。