[论文解读] BPS Lie algebras and the less perverse filtration on the preprojective CoHA

Ben Davison|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2020

Advanced Topics in Algebra参考文献 46被引用 12

一句话总结

该论文通过沿仿射化态射对对偶化混合霍赫德模的导出直接像的纯性，引入了预投射 CoHA 的 Borel–Moore 同调的新 perverse 分次。它将该分次的零阶部分识别为与预投射 CoHA 相关的 BPS 李代数的通用包络代数，并表明半稳定模的交线上同调提供了 cuspidal 同调，其构造性地实现了 BPS 李代数的所有简单双曲根，该代数预计为 Borcherds 代数。

ABSTRACT

The affinization morphism for the stack $\mathfrak{M}(Π_Q)$ of representations of a preprojective algebra $Π_Q$ is a local model for the morphism from the stack of objects in a general 2-Calabi-Yau category to the good moduli space. We show that the derived direct image of the dualizing complex along this morphism is pure, and admits a decomposition in the sense of the Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber decomposition theorem. We introduce a new perverse filtration on the Borel-Moore homology of $\mathfrak{M}(Π_Q)$, using this decomposition. We show that the zeroth piece of the resulting filtration on the cohomological Hall algebra built out of the Borel-Moore homology of $\mathfrak{M}(Π_Q)$ is isomorphic to the universal enveloping algebra of an associated BPS Lie algebra $\mathfrak{g}_{Π_Q}$. This Lie algebra is defined via the Kontsevich-Soibelman theory of critical cohomological Hall algebras for 3-Calabi-Yau categories. We then lift this Lie algebra to a Lie algebra object in the category of perverse sheaves on the coarse moduli space of $Π_Q$-modules, and use this algebra structure to prove results about the summands appearing in the above decomposition theorem. In particular, we prove that the intersection cohomology of singular spaces of semistable $Π_Q$-modules provide "cuspidal cohomology" - a conjecturally complete subspace of canonical generators for $\mathfrak{g}_{Π_Q}$.

研究动机与目标

• 通过预投射代数表示堆栈上对偶化混合霍赫德模沿仿射化态射的导出直接像的纯性，定义 Borel–Moore 同调的新 perverse 分次。
• 将该分次的零阶部分识别为与预投射 CoHA 相关的 BPS 李代数的通用包络代数。
• 表明半稳定模的交线上同调为 BPS 李代数提供“cuspidal 同调”，其构造性地实现了所有简单双曲根。
• 推测 BPS 李代数为 Borcherds 代数，其生成元来自稳定与奇异半稳定模。

提出的方法

• 证明沿仿射化态射到粗模空间的对偶化混合霍赫德模的导出直接像为纯的，从而启用分解定理。
• 通过扭曲塔特对象的对偶复叠的导出上推，构造 CoHA 为分次代数。
• 通过过滤导出上推的纯权重分量的同调度，定义 Borel–Moore 同调上的新 perverse 分次。
• 利用分解定理，将 CoHA 的结构与粗模空间上的交线上同调层联系起来。
• 将 BPS 李代数的球面对子代数识别为包含与 Q 的实子quiver 相关的 Kac–Moody 代数的一半，从而几何实现部分 Kac–Moody 结构。
• 推测完整的 BPS 李代数为 Borcherds 代数，其生成元来自稳定与奇异半稳定同调类。

实验结果

研究问题

• RQ1 预投射代数表示堆栈的 Borel–Moore 同调结构如何？如何通过几何与霍赫德理论数据对其进行分次？
• RQ2 堆栈上预投射模的对偶化混合霍赫德模的导出直接像如何与粗模空间的几何相关？
• RQ3 半稳定模的交线上同调在实现 BPS 李代数的简单根中起什么作用？
• RQ4 与预投射 CoHA 相关的 BPS 李代数能否被实现为 Borcherds 代数，其生成元来自稳定与奇异半稳定表示？
• RQ5 新的 perverse 分次如何细化 CoHA 的结构，并与 Kac–Moody 与 Borcherds 代数的表示理论相关联？

主要发现

• 沿仿射化态射的对偶化混合霍赫德模的导出直接像为纯的，导致 CoHA 被分解为纯权重分量。
• Borel–Moore 同调的新 perverse 分次的零阶部分同构于 BPS 李代数 $\mathfrak{g}_{\Pi_Q}$ 的通用包络代数。
• $\mathfrak{g}_{\Pi_Q}$ 的球面对子代数包含与 Q 的实子quiver 相关的 Kac–Moody 李代数的一半，从而几何实现部分 Kac–Moody 结构。
• 半稳定 $\Pi_Q$-模空间的交线上同调为 $\mathfrak{g}_{\Pi_Q}$ 提供了“cuspidal 同调”，其构造性地构成所有简单双曲根的完整空间。
• 推测 BPS 李代数 $\mathfrak{g}_{\Pi_Q}$ 为 Borcherds 代数，其生成元来自稳定与奇异半稳定表示。
• 该推测意味着 Bozec–Schiffmann 对 quiver 的 Kac 多项式之猜想成立，并为 cuspidal 同调提供了基于交线上同调层的几何解释。