[论文解读] BPS Lie algebras for totally negative 2-Calabi-Yau categories and nonabelian Hodge theory for stacks

Ben Davison, Lucien Hennecart+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2022

Algebraic structures and combinatorial models被引用 6

一句话总结

本文引入了完全负性2-卡拉比-丘范畴的层论上同调霍尔代数（CoHA）与BPS李代数，证明了BPS代数由简单模的模空间的交线上同调自由生成。建立了曲线上的Higgs丛与扭曲局部系统之间的非交换霍德等价，并证明了Bozec–Schiffmann正性猜想：完全负性quiver的构造霍尔代数中的尖点多项式具有非负系数。

ABSTRACT

We define and study a sheaf-theoretic cohomological Hall algebra for suitably geometric Abelian categories $\mathcal{A}$ of homological dimension at most two, and a sheaf-theoretic BPS algebra under the conditions that $\mathcal{A}$ is 2-Calabi-Yau and has a good moduli space. We show that the BPS algebra for the preprojective algebra $Π_Q$ of a totally negative quiver is the free algebra generated by the intersection cohomology of the closure of the locus parameterising simple $Π_Q$-modules in the coarse moduli space. We define and study the BPS Lie algebra of arbitrary 2-Calabi-Yau categories $\mathcal{A}$ for which the Euler form is negative on all pairs of non-zero objects, which recovers the BPS algebra as its universal enveloping algebra for such "totally negative" 2CY categories. We show that for totally negative 2CY categories the BPS algebra is freely generated by intersection complexes of certain coarse moduli spaces as above, and the Borel-Moore homology of the stack of objects in such $\mathcal{A}$ satisfies a Yangian-type PBW theorem for the BPS Lie algebra. In this way we prove the cohomological integrality theorem for these categories. We use our results to prove that for $C$ a smooth projective curve, and for $r$ and $d$ not necessarily coprime, there is a nonabelian Hodge isomorphism between the Borel-Moore homologies of the stack of rank $r$ and degree $d$ Higgs bundles, and the appropriate stack of twisted representations of the fundamental group of $C$. In addition we prove the Bozec-Schiffmann positivity conjecture for totally negative quivers; we prove that their polynomials counting cuspidal functions in the constructible Hall algebra for $Q$ have positive coefficients, strengthening the positivity theorem for the Kac polynomials of such quivers.

研究动机与目标

• 为具有良好模空间的二维阿贝尔范畴发展层论CoHA结构。
• 为完全负性2-卡拉比-丘范畴定义并研究BPS李代数，其中欧拉形式在所有非零对上严格为负。
• 证明BPS代数由简单对象的粗模空间的交线上同调类自由生成。
• 为完全负性2CY范畴的CoHA建立PBW型定理，将其与杨代数结构联系起来。
• 将非交换霍德理论推广至奇异堆栈模空间，并证明完全负性quiver的Bozec–Schiffmann正性猜想。

提出的方法

• 在2-卡拉比-丘范畴中对象的良好模空间上构造层论CoHA，其同调维数≤2。
• 将BPS李代数定义为粗模空间中简单对象局部闭包的交线上同调生成的自由李代数。
• 使用虚拟拉回与拟光滑态射在导出设定中定义CoHA结构。
• 应用Sevenhant–Van den Bergh定理证明霍尔代数的自由性，从而推出BPS李代数是自由的。
• 建立一个特征公式，将BPS李代数的Poincaré级数与模空间的交线上同调多项式联系起来。
• 利用CoHA的PBW定理，证明对象堆栈的Borel–Moore同调同构于BPS李代数的通用包络代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将上同调霍尔代数精化为2-卡拉比-丘范畴粗模空间上的层论结构？
• RQ2 完全负性2-卡拉比-丘范畴中BPS李代数的结构是什么？它与BPS代数有何关系？
• RQ3 能否为Higgs丛与曲线上扭曲局部系统的奇异堆栈建立非交换霍德等价？
• RQ4 计数完全负性quiver的构造霍尔代数中尖点函数的多项式是否具有非负系数？
• RQ5 BPS李代数的Poincaré级数与模空间的交线上同调之间有何关系？

主要发现

• 对于完全负性quiver的预投射代数，其BPS代数由粗模空间中简单模局部闭包的交线上同调自由生成。
• 完全负性2CY范畴中对象堆栈的Borel–Moore同调满足杨代数型PBW定理，其中BPS李代数为其生成元的李代数。
• 对于亏格 $g \geq 2$ 的光滑射影曲线 $C$，Higgs丛堆栈与扭曲局部系统堆栈的Borel–Moore同调之间存在非交换霍德等价。
• Bozec–Schiffmann正性猜想对完全负性quiver成立：计数绝对尖点函数的多项式 $C_{Q, vmathbf{d}}^{ ext{abs}}(q)$ 的系数属于 $\mathbf{N}[q]$。
• BPS李代数的特征为 $\mathrm{ch}(\mathfrak{g}_{\Pi_Q}^{\operatorname{BPS}}) = \sum_{\mathbf{d}} A_{Q,\mathbf{d}}(q^{-2}) z^{\mathbf{d}}$，其阿贝尔化与交线上同调多项式 $\operatorname{IP}(\mathcal{M}_{\Pi_Q,\mathbf{d}}, q)$ 一致。
• 对所有 $\mathbf{d} \in \Sigma_Q$，等式 $C_{Q,\mathbf{d}}(q^{-2}) = \operatorname{IP}(\mathcal{M}_{\Pi_Q,\mathbf{d}}, q)$ 成立，将尖点多项式与交线上同调联系起来。