[论文解读] Braided autoequivalences and the equivariant Brauer group of a quasitriangular Hopf algebra

Jeroen Dello, Yinhuo Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文建立了在 ${}_{H}\mathcal{M}$ 上平凡化的 ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ 的辫自同构群与横转辫 Hopf 代数 ${}_{R}H$ 上的量子交换双-伽罗瓦对象群之间的群同构，通过张量自同构对等变 Brauer 群 $\mathrm{BM}(k,H,R)$ 提供了范畴解释。关键贡献是通过辫自同构与辫张量范畴中的双-伽罗瓦理论，实现了对文献 [18] 中精确序列的范畴化实现。

ABSTRACT

Let $(H, R)$ be a finite dimensional quasitriangular Hopf algebra over a field $k$, and $_H\mathcal{M}$ the representation category of $H$. In this paper, we study the braided autoequivalences of the Drinfeld center $^H_H\mathcal{YD}$ trivializable on $_H\mathcal{M}$. We establish a group isomorphism between the group of those autoequivalences and the group of quantum commutative bi-Galois objects of the transmutation braided Hopf algebra $_RH$. We then apply this isomorphism to obtain a categorical interpretation of the exact sequence of the equivariant Brauer group $\mathrm{BM}(k, H,R)$ in [18]. To this aim, we have to develop the braided bi-Galois theory initiated by Schauenburg in [14,15], which generalizes the Hopf bi-Galois theory over usual Hopf algebras to the one over braided Hopf algebras in a braided monoidal category.

研究动机与目标

• 通过 ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ 的辫自同构，为等变 Brauer 群 $\mathrm{BM}(k,H,R)$ 提供范畴解释。
• 解决如下问题：是否每个在 ${}_{H}\mathcal{M}$ 上平凡化的 ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ 的辫自同构都源于 ${}_{R}H$ 上的量子交换双-伽罗瓦对象？
• 将辫双-伽罗瓦理论推广至辫张量范畴，并建立 Schauenburg 的余张量函子构造的逆命题。
• 将映射 $\tilde{\pi}: \mathrm{BM}(k,H,R) \to \mathrm{Gal}^{qc}({}_{R}H)$ 与 ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ 的张量自同构联系起来。

提出的方法

• 在辫张量范畴中发展辫双-伽罗瓦理论，将 Hopf 双-伽罗瓦理论推广至辫 Hopf 代数。
• 利用双-伽罗瓦对象 $A$ 的余张量函子 $A \square_B -$，在余模范畴 ${}^B\mathcal{C}$ 与 ${}^L\mathcal{C}$ 之间定义 $\mathcal{C}$-线性张量等价。
• 确定 $\mathcal{C}$-线性张量自同构 $\alpha: {}^B\mathcal{C} \to {}^L\mathcal{C}$ 通过 $\alpha(B)$ 诱导双-伽罗瓦对象的条件，特别要求与平凡余模上的辫结构相容。
• 应用 $\mathrm{Gal}^{qc}({}_{R}H)$ 与 $\mathrm{Aut}^{br}({}^{H}_{H}\mathcal{YD}, {}_{H}\mathcal{M})$ 之间的同构，对 $\tilde{\pi}$ 进行范畴化解释。
• 通过 $F_A(Z) = (A \otimes Z)^A$ 构造函子 $F_A: {}^{H}_{H}\mathcal{YD} \to {}^{H}_{H}\mathcal{YD}$，其中 $A$ 为 $H^*$-Galois Azumaya 代数，证明其在 ${}_{H}\mathcal{M}$ 上平凡化。
• 证明通过 $F_A$ 的复合映射 $\mathrm{Br}({}_{H}\mathcal{M}) \to \mathrm{Aut}^{br}({}^{H}_{H}\mathcal{YD}, {}_{H}\mathcal{M})$ 构成一个群同态，其核同构于 $\mathrm{Br}(k)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个在 ${}_{H}\mathcal{M}$ 上平凡化的 ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ 的辫自同构是否都由 ${}_{R}H$ 上的量子交换双-伽罗瓦对象诱导？
• RQ2 精确序列 (0.1) 中的群 $\mathrm{Gal}^{qc}({}_{R}H)$ 是否能通过 ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ 的张量自同构进行范畴化解释？
• RQ3 映射 $\tilde{\pi}: \mathrm{BM}(k,H,R) \to \mathrm{Gal}^{qc}({}_{R}H)$ 是否可通过 ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ 的辫自同构实现？
• RQ4 当 $A$ 为 $H^*$-Galois Azumaya 代数时，函子 $F_A(Z) = (A \otimes Z)^A$ 如何与 ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ 的自同构相关联？
• RQ5 在何种条件下，函子 $F_A$ 可超越 $H^*$-Galois 情形扩展为张量自同构？

主要发现

• 建立了在 ${}_{H}\mathcal{M}$ 上平凡化的 ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ 的辫自同构群与 ${}_{R}H$-量子交换双-伽罗瓦对象群之间的群同构。
• 该同构的构造依赖于一个兼容性图（记为 $\mathbb{A}$），以确保自同构下辫结构被保持。
• 映射 $\tilde{\pi}: \mathrm{BM}(k,H,R) \to \mathrm{Gal}^{qc}({}_{R}H)$ 被范畴化解释为同构 $\mathrm{Gal}^{qc}({}_{R}H) \cong \mathrm{Aut}^{br}({}^{H}_{H}\mathcal{YD}, {}_{H}\mathcal{M})$ 与 Brauer 群同态的复合。
• $\mathrm{Pic}({}_{H}\mathcal{M}) \to \mathrm{Aut}^{br}({}^{H}_{H}\mathcal{YD}, {}_{H}\mathcal{M})$ 所诱导的同态 $\tau$ 的核同构于 $\mathrm{Br}(k)$，即基域 $k$ 的经典 Brauer 群。
• 对于 $H^*$-Galois Azumaya 代数 $A$，函子 $F_A(Z) = (A \otimes Z)^A$ 在 ${}_{H}\mathcal{M}$ 上被证明是平凡化的，即对所有 $X \in {}_{H}\mathcal{M}$ 有 $F_A(X) \cong X$。
• 本文猜想，在适当条件下，此处构造的同态 $\tau$ 与 Davydov 和 Nikshych [3] 中的同态一致，可能将精确序列 (0.1) 扩展至无限维拟三角 Hopf 代数。