[论文解读] Braids, trees, and operads

Jack Morava|ArXiv.org|Sep 13, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文引入了一类源自实射影直线上点的紧化配置空间的新范畴，证明其为单连通空间，其基本群推广了辫群。通过使用Stasheff关联多面体的剖分以及与量子上同调和Fukaya的拉格朗日子流形上同调的联系，本文建立表明这些模空间 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$ 支持范畴上的范畴，其同伦商映射产生广义辫群结构，将经典范畴与拓扑构造扩展至实代数几何领域。

ABSTRACT

The space of unordered configurations of distinct points in the plane is aspherical, with Artin's braid group as its fundamental group. Remarkably enough, the space of ordered configurations of distinct points on the real projective line, modulo projective equivalence, has a natural compactification (as a space of equivalence classes of trees) which is also (by a theorem of Davis, Januszkiewicz, and Scott) aspherical. The classical braid groups are ubiquitous in modern mathematics, with applications from the theory of operads to the study of the Galois group of the rationals. The fundamental groups of these new configuration spaces are not braid groups, but they have many similar formal properties.

研究动机与目标

• 研究实射影直线上 $k$ 个互异点在射影等价关系下的配置模空间 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$ 的拓扑与代数结构。
• 证明这些空间是单连通的，推广复情形下无序配置空间的经典单连通性。
• 从 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$ 的基本群范畴构造一个范畴上的范畴，将辫群范畴推广至实配置情形。
• 通过Gromov-Witten不变量与伪全纯多边形，将此新范畴与量子上同调及Fukaya的拉格朗日子流形Floer上同调联系起来。
• 探讨这些实模空间的基本群与伽罗瓦群、Calogero-Moser系统以及Grothendieck-Teichmüller群之间的联系。

提出的方法

• 利用Davis-Januszkiewicz-Scott定理，证明 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$ 具有分片负曲率度量，从而表明其为 $K(\pi,1)$ 空间。
• 构造一个满射映射 $\Sigma_k \times_{D_k} K_{k-3} \to {\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$，表明该空间在Stasheff关联多面体的剖分下实现。
• 分析实配置空间 $\mathrm{Config}^n(\mathbb{R}P^1)$ 的基本群范畴，通过商映射 $[\Sigma_n / \mathrm{Br}_n]$ 与辫群建立联系。
• 建立实空间与复空间之间的交换图，将实镶嵌范畴与 $A_\infty$ 范畴及小圆盘范畴联系起来。
• 应用庞加莱对偶性与Gromov-Witten理论，定义一个同态 $H_*({\overline{\mathcal{M}}}_{0,k+1}(\mathbb{R})) \to \mathrm{End}_k(H_*(L,\Lambda))$，表明其在Floer上同调上的作用。
• 引入“bubbletree”紧化概念，通过具有双曲多边形的树状退化来建模点的碰撞。

实验结果

研究问题

• RQ1 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$ 的基本群是否自然作用于Fukaya的拉格朗日子流形Floer上同调上？
• RQ2 由范畴上的范畴定义的范畴 $\mathbf{D}$ 是否可借助Markl的“带迹的循环范畴”概念进行解释？
• RQ3 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$ 的基本群是否同构于实直线上Calogero-Moser系统解的伽罗瓦群？
• RQ4 由 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,*}(\mathbb{R})$ 定义的范畴上的范畴的自同构是否具有与Grothendieck-Teichmüller群相似的性质？
• RQ5 第一同调群 $H_1({\overline{\mathcal{M}}}_{0,k+1}(\mathbb{R}))$ 的秩是否等于 $\binom{n}{3}$？

主要发现

• 模空间 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$ 是单连通的，其基本群 $\pi_1({\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R}))$ 构成一个范畴，推广了辫群。
• 空间 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})$ 由Stasheff关联多面体剖分，且在余维数 $n$ 的面上存在从 $\Sigma_k \times_{D_k} K_{k-3}$ 到模空间的 $2^n$ 对一映射。
• 实配置空间的基本群范畴同构于 $[\Sigma_n / \mathrm{Br}_n]$，作为普遍辫对称张量范畴，推广了辫范畴。
• 范畴 $\{{\overline{\mathcal{M}}}_{0,k}(\mathbb{R})\}$ 通过同态 $H_*({\overline{\mathcal{M}}}_{0,k+1}(\mathbb{R})) \to \mathrm{End}_k(H_*(L,\Lambda))$ 作用于拉格朗日子流形的同调上，将量子上同调结构推广至实情形。
• 实模空间 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,5}(\mathbb{R})$ 是一个类似十二面体的多面体，具有十二个五边形面，通过在环面上爆破三个三重点得到。
• 复模空间 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,4}(\mathbb{C})$ 通过交比同构于 $\mathbb{C}P^1$，而 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,3}(\mathbb{C})$ 是一个点，反映出三点配置的刚性。