[论文解读] Branch-and-Bound Solves Random Binary Packing IPs in Polytime

Santanu S. Dey, Yatharth Dubey+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2020

Vehicle Routing Optimization Methods被引用 2

一句话总结

本文证明了当约束数量固定时，使用可变分支的分支定界法以高概率在多项式时间内求解随机二元装箱整数规划问题。作者分析了在随机生成实例上标准可变分支的性能，表明该算法的节点探索数量保持多项式级别，从而为其实用性能的优越性提供了理论依据。

ABSTRACT

Branch-and-bound is the workhorse of all state-of-the-art mixed integer linear programming (MILP) solvers. These implementations of branch-and-bound typically use variable branching, that is, the child nodes are obtained by fixing some variable to an integer value v in one node and to v + 1 in the other node. Even though modern MILP solvers are able to solve very large-scale instances efficiently, relatively little attention has been given to understanding why the underlying branch-and-bound algorithm performs so well. In this paper our goal is to theoretically analyze the performance of the standard variable branching based branch-and-bound algorithm. In order to avoid the exponential worst-case lower bounds, we follow the common idea of considering random instances. More precisely, we consider random packing integer programs where the entries of the coefficient matrix and the objective function are randomly sampled. Our main result is that with good probability branch-and-bound with variable branching explores only a polynomial number of nodes to solve these instances, for a fixed number of constraints. To the best of our knowledge this is the first known such result for a standard version of branch-and-bound. We believe that this result provides a compelling indication of why branch-and-bound with variable branching works so well in practice.

研究动机与目标

• 从理论上解释为何尽管存在指数级最坏情况复杂度，使用可变分支的分支定界法在实践中仍表现得如此出色。
• 分析标准分支定界法在二元装箱整数规划随机实例上的性能表现。
• 证明在约束数量固定的情况下，探索的节点数量以高概率保持多项式级别。
• 对标准可变分支在随机混合整数线性规划实例上的性能进行首次正式分析。
• 为现代混合整数线性规划求解器在实际应用中的稳健表现提供理论洞见。

提出的方法

• 作者考虑了约束系数和目标函数项为独立同分布随机变量的随机二元装箱整数规划问题。
• 他们分析了标准可变分支规则，即每个节点通过将某个变量固定为0或1进行分割。
• 分析重点在于该分支规则下分支定界树中探索的节点数的期望值。
• 他们使用概率论和集中不等式方法来限制搜索树的规模。
• 证明依赖于在随机实例中整数性间隙和子问题行为保持良好控制。
• 分析基于约束数量固定，从而在变量数量上获得渐近界。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何使用可变分支的分支定界法在实践中能如此高效地求解大量真实世界的混合整数规划问题？
• RQ2 我们能否从理论上证明分支定界法在随机实例中探索的节点数量保持多项式级别？
• RQ3 可变分支是否会导致随机二元装箱整数规划问题中搜索树的大小为多项式级别？
• RQ4 约束矩阵和目标函数中的随机性在确保可处理性能方面起到什么作用？
• RQ5 是否存在对标准分支定界法在随机实例上经验表现鲁棒性的理论解释？

主要发现

• 使用可变分支的分支定界法以高概率仅探索多项式数量的节点，即可求解随机二元装箱整数规划问题。
• 当约束数量固定时，即使变量数量增长，该结果依然成立。
• 该分析适用于约束矩阵和目标向量中所有条目均独立随机采样的实例。
• 这是首次已知的理论结果，证明标准可变分支在随机混合整数线性规划实例上具有多项式时间性能。
• 研究结果为现代混合整数线性规划求解器的实际效率提供了强有力的理论支持。
• 该结果表明，随机实例的内在结构在可变分支下天然地限制了分支定界树的规模。