[论文解读] Branching Brownian motion with selection

Pascal Maillard|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 101被引用 10

一句话总结

本论文研究带有选择机制的分支布朗运动，重点关注两种模型：在时空屏障处吸收的模型与仅保留最右侧N个粒子的N-BBM模型。研究证明，在N-BBM模型中，粒子云的位置在时间尺度$\log^3 N$下收敛于一个Lévy过程加上线性漂移，确认了Brunet、Derrida、Mueller与Munier关于带噪声FKPP前沿的预测。该工作还将系统与稳定点过程联系起来，并利用FKPP–Briot–Bouquet方程之间的联系分析吸收概率。

ABSTRACT

In this thesis, branching Brownian motion (BBM) is a random particle system where the particles diffuse on the real line according to Brownian motions and branch at constant rate into a random number of particles with expectation greater than 1. We study two models of BBM with selection: BBM with absorption at a space-time line and the N-BBM, where, as soon as the number of particles exceeds a given number N, only the N right-most particles are kept, the others being removed from the system. For the first model, we study the law of the number of absorbed particles in the case where the process gets extinct almost surely, using a relation between the Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskounov (FKPP) and the Briot-Bouquet equations. For the second model, the study of which represents the biggest part of the thesis, we give a precise asymptotic on the position of the cloud of particles when N is large. More precisely, we show that it converges at the timescale log^3 N to a Lévy process plus a linear drift, both of them explicit, which confirms a prediction by Brunet, Derrida, Mueller and Munier. This study contributes to the understanding of travelling waves of FKPP type under the influence of noise. Finally, in a third part we point at the relation between the BBM and stable point processes.

研究动机与目标

• 理解在粒子数量受空间排序控制的选择机制下分支布朗运动的行为。
• 通过FKPP方程与Briot–Bouquet方程之间的联系，分析亚临界分支过程中被时空屏障吸收的粒子数量。
• 推导当$N \to \infty$时N-BBM模型中最右侧粒子的精确渐近行为，确认关于带噪声前沿传播的理论预测。
• 建立分支布朗运动中极值粒子系统与稳定随机测度之间的联系，为极限粒子构型提供点过程表示。

提出的方法

• 利用分支布朗运动与带噪声的Fisher–Kolmogorov–Petrovskii–Piskounov（FKPP）方程之间的概率耦合，分析吸收概率。
• 通过Briot–Bouquet方程应用复微分方程技术，研究FKPP解的尾部行为并推导吸收律。
• 将粒子测度分解为平移不变分量与随机位移，利用映射$\phi(\mu) = (T_{-M(\mu)}, M(\mu))$分离位置与质量。
• 构造一个随机测度$\Lambda$，作为基测度$\Delta$的平移副本的积分，利用条件概率与标度性质推导出形式$\Lambda = \int e^{-x} T_x \Delta \, dx$。
• 应用可叠加点过程与稳定随机测度的理论，表征N-BBM模型中极值粒子的极限分布。
• 利用Tonelli定理与积分估计，证明粒子过程的有限强度等价于$\mathbb{E}[\langle D, e^x \rangle] < \infty$，将装饰测度$D$的尾部行为与系统强度联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在亚临界分支布朗运动中，被时空屏障吸收的粒子数量的分布是什么？
• RQ2 当$N \to \infty$时，N-BBM模型中最右侧粒子的位置如何渐近表现？
• RQ3 N-BBM模型中粒子云前沿传播的极限过程是什么？它与Lévy过程和确定性漂移有何关系？
• RQ4 分支布朗运动中的极值粒子系统如何与稳定点过程及随机测度相关联？
• RQ5 在点过程表示中，粒子系统的有限强度由什么条件保证？这与装饰测度的尾部行为有何关联？

主要发现

• 在具有时空屏障吸收的BBM中，通过FKPP方程与Briot–Bouquet方程之间的联系，刻画了被吸收粒子数量的分布，从而实现了对灭绝概率的精确渐近分析。
• 对于N-BBM模型，最右侧粒子的位置在时间尺度$\log^3 N$下收敛于一个Lévy过程加上显式确定的线性漂移，确认了Brunet、Derrida、Mueller与Munier的预测。
• 极限粒子系统被证明是一个可叠加点过程，其强度测度与$e^{-x} \, dx$成正比，且装饰测度$D$通过一个稳定随机测度刻画，满足$\mathbb{E}[\langle D, e^x \rangle] < \infty$以确保有限强度。
• 描述粒子系统的随机测度$\Lambda$具有唯一分解$\Lambda = \int e^{-x} T_x \Delta \, dx$，其中$\Delta$是零质量的平移不变测度空间上的概率测度，从而为极值粒子过程建立了规范形式。
• 研究证实，当装饰测度$D$具有重尾时，粒子系统不具有有限强度，因为此时$\mathbb{E}[\langle D, e^x \rangle] = \infty$，意味着左尾粒子密度发散。
• 证明了在表示$Z = \sum_i \delta_{\xi_i} \ast T_{\xi_i} D$中，对$(m, D)$的配对是唯一的，其中$m = \log \Delta(\mathcal{N}^*)$，从而保证了点过程与其规范分量之间的一一对应关系。