[论文解读] Branching of some holomorphic representations of SO(2,N)

Henrik Seppänen|ArXiv.org|Jul 1, 2009

Advanced Algebra and Geometry被引用 8

一句话总结

本文研究了 SO(2,n) 的全纯离散系列表示在子群 SO₀(1,n) 下的分支，聚焦于在李球上的加权 Bergman 空间上单位表示的分解。通过广义傅里叶变换构造了显式的 intertwining 算子，推导出 Plancherel 公式与反演公式，并在分解中显式实现了离散表示与最小表示，其中 Plancherel 测度被识别为某些超几何多项式的正交性测度。

ABSTRACT

In this paper we consider the analytic continuation of the weighted Bergman spaces on the Lie ball $$\mathscr{D}=SO(2,n)/S(O(2) imes O(n))$$ and the corresponding holomorphic unitary (projective) representations of SO(2,n) on these spaces. These representations are known to be irreducible. Our aim is to decompose them under the subgroup SO(1,n) which acts as the isometry group of a totally real submanifold $\mathscr{X}$ of $\mathscr{D}$. We give a proof of a general decomposition theorem for certain unitary representations of semisimple Lie groups. In the particular case we are concerned with, we find an explicit formula for the Plancherel measure of the decomposition as the orthogonalising measure for certain hypergeometric polynomials. Moreover, we construct an explicit generalised Fourier transform that plays the role of the intertwining operator for the decomposition. We prove an inversion formula and a Plancherel formula for this transform. Finally we construct explicit realisations of the discrete part appearing in the decomposition and also for the minimal representation in this family.

研究动机与目标

• 确定 SO(2,n) 的标量全纯离散系列表示在子群 SO₀(1,n) 限制下的分支规则。
• 识别分解中的 Plancherel 测度，并将其与超几何多项式的正交性测度联系起来。
• 构造一个显式的 intertwining 算子，以广义傅里叶变换的形式实现分解。
• 为所用的广义傅里叶变换提供反演公式与 Plancherel 公式。
• 在函数空间中显式实现分解中的离散部分与最小表示。

提出的方法

• 通过解析延拓李球 D = SO(2,n)/S(O(2)×O(n)) 上的加权 Bergman 空间来研究单位表示。
• 利用 SO₀(1,n) 作为全实子流形 X ⊂ D 的等距群作用，诱导出限制问题。
• 构造一个广义傅里叶变换，作为表示空间与分解分量之间的 intertwining 算子。
• 通过将 Plancherel 测度识别为由核函数导出的超几何多项式族的正交性测度，推导出该测度。
• 利用核函数 Kν(z,ζ) 的积分表示与幂级数展开，分析 intertwining 算子的作用。
• 利用单位圆盘上加权 Bergman 空间的再生性质，计算矩阵系数并验证酉性。

实验结果

研究问题

• RQ1 SO(2,n) 的全纯离散系列表示在子群 SO₀(1,n) 下如何分解？
• RQ2 分解中的 Plancherel 测度的显式形式是什么？它与特殊函数有何关联？
• RQ3 能否构造一个显式的 intertwining 算子，以实现分解为不可约分量？
• RQ4 用于分解的广义傅里叶变换的反演公式与 Plancherel 公式是什么？
• RQ5 如何在函数空间中显式实现 Wallach 集中的离散部分与最小表示？

主要发现

• 分支分解的 Plancherel 测度被识别为一族超几何多项式的正交性测度。
• 构造了一个显式的广义傅里叶变换，作为表示空间与直积分分解之间的酉 intertwining 算子。
• 为广义傅里叶变换建立了反演公式与 Plancherel 公式，确认了其酉等价性。
• 证明了 intertwining 算子 T_{(n-2)/2} 是酉算子，将球谐多项式有限线性组合的完备化映射到最小表示的全纯 Fock 空间。
• H = SO₀(1,n) 的最小表示 π_{(n-2)/2} 被实现为补系列表示，并证明其不可约。
• 显式计算了球谐多项式在 T_{(n-2)/2} 下像的范数，得到常数 C_m = (n-2)/(2π²)，确认了等距延拓。