[论文解读] Branching processes in a Lévy random environment

Sandra Palau, Juan Carlos Pardo|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 25被引用 9

一句话总结

本文通过构造由布朗运动和泊松随机测度驱动的随机微分方程的强解，引入了在 Lévy 随机环境中具有移民和竞争机制的连续状态分支过程。主要贡献在于在一般条件下（包括有限时间爆炸）建立了强解的存在性与唯一性，并推广了近期关于具有移民和竞争机制的随机环境中分支过程的研究结果。

ABSTRACT

In this paper, we introduce branching processes in a Lévy random environment. In order to define this class of processes, we study a particular class of non-negative stochastic differential equations driven by Brownian motions and Poisson random measures which are mutually independent. The existence and uniqueness of strong solutions are established under some general conditions that allows us to consider the case when the strong solution explodes at a finite time. We use the latter result to construct continuous state branching processes with immigration and competition in a Lévy random environment as a strong solution of a stochastic differential equation. We also study some properties of such processes that extends recent results obtained by Bansaye et al. in (Electron. J. Probab. 18, no. 106, 1-31, (2013)), Palau and Pardo in (arXiv:1506.09197 (2015)) and Evans et al. in (J. Math. Biol., 71, 325-359, (2015)).

研究动机与目标

• 通过将随机环境波动建模为 Lévy 过程，扩展连续状态分支过程。
• 研究由布朗运动和泊松随机测度驱动的随机微分方程在随机环境中的强解的存在性与唯一性。
• 将具有移民和竞争机制的连续状态分支过程构造为 Lévy 随机环境中 SDE 的强解。
• 推广近期关于随机环境中分支过程的研究结果，特别是涉及移民和竞争机制的研究。
• 提供一个统一的框架，利用 SDE 对受环境噪声、竞争和移民影响的种群动态进行建模。

提出的方法

• 制定一类由独立布朗运动和泊松随机测度驱动的非负随机微分方程（SDE）。
• 在一般条件下（包括有限时间爆炸的可能性）建立强解的存在性与唯一性。
• 将 Lévy 随机环境中的分支过程定义为包含漂移、扩散、跳跃、移民和竞争成分的 SDE 的唯一强解。
• 利用柯西-利普希茨定理和一致收敛性论证，证明逼近解序列的收敛性。
• 应用格朗沃尔不等式，并对指数函数和凸函数施加一致有界性，以控制解在极限情况下的收敛性。
• 利用补偿泊松测度和具有 Lévy 特性的强度测度来建模跳跃和环境噪声。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，描述 Lévy 随机环境中分支过程的随机微分方程存在强解？
• RQ2 如何在随机环境中将具有移民和竞争机制的连续状态分支过程构造为 SDE 的强解？
• RQ3 Lévy 随机环境在何种程度上改变了具有移民和竞争机制的分支过程的长期行为？
• RQ4 在 SDE 框架下，移民和竞争机制如何与随机环境波动相互作用？
• RQ5 在一般条件下（包括可能的爆炸）能否严格证明逼近解序列收敛于真实解？

主要发现

• 本文在解可能在有限时间内爆炸的情况下，建立了由布朗运动和泊松随机测度驱动的一类非负 SDE 的强解存在性与唯一性。
• 在 Lévy 随机环境中具有移民和竞争机制的连续状态分支过程被构造为特定 SDE 的唯一强解，该 SDE 包含漂移、扩散、跳跃、移民和竞争成分。
• 在环境过程一致收敛的条件下，通过格朗沃尔不等式和对指数函数与凸函数的一致有界性，证明了逼近解序列收敛于真实解。
• 证明了极限倒向 SDE 的解是唯一且连续的，且在概率为 1 的集合上几乎必然收敛。
• 该框架通过引入 Lévy 驱动的环境噪声，推广并扩展了先前关于随机环境中分支过程的研究结果，特别是涉及移民和竞争机制的研究。
• 分析表明，在 Lévy 测度和竞争机制满足较弱的可积性与正则性条件时，解保持非负且路径唯一。