[论文解读] Branching processes with pairwise interactions

Gabriel Berzunza Ojeda, Juan Carlos Pardo|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 4

一句话总结

本文引入了具有成对相互作用的分支过程（BPI-过程），其中个体经历出生、死亡、合作与竞争事件。通过矩对偶性与Lamperti型时间变换，作者推导出关于爆炸、灭绝、从无穷大下降以及平稳性的积分判别法，识别出过程存在平稳分布或在0和1处表现出规则边界行为的条件。

ABSTRACT

In this manuscript, we are interested in the long-term behaviour of branching processes with pairwise interactions (BPI-processes). A process in this class behaves as a pure branching process with the difference that competition and cooperation events between pairs of individuals are also allowed. Here, we provide a series of integral tests that explain how competition and cooperation regulate the long-term behaviour of BPI-processes. In particular, such integral tests describe the events of explosion and extinction and provide conditions under which the process comes down from infinity. Moreover, we also determine whether the process admits, or not, a stationary distribution. Our arguments use a random time change representation in terms of a modified branching process with immigration and moment duality. The moment dual of BPI-processes turns out to be a family of diffusions taking values on $[0,1]$ which are interesting in their own right and that we introduce as generalised Wright-Fisher diffusions.

研究动机与目标

• 分析包含成对合作与竞争事件的分支过程的长期行为，超越标准的纯分支过程。
• 确定此类过程发生爆炸、灭绝或从无穷大下降的条件。
• 研究BPI-过程是否存在平稳分布。
• 建立一个广义Wright-Fisher扩散的矩对偶过程，为对偶动力学提供新见解。

提出的方法

• 作者使用随机时间变换表示，将BPI-过程与带有移民的修改分支过程联系起来。
• 他们应用矩对偶性，将BPI-过程与[0,1]上的扩散族联系起来，称为广义Wright-Fisher扩散。
• BPI-过程的无穷小生成元以种群规模（自然出生/死亡）和其平方（合作/竞争）为比例定义速率。
• 基于相互作用机制 $\Phi_{c,b}(u)$ 和分支机制 $\Psi_{d,\rho}(u)$ 的积分判别法被推导出来，用于分类0和1处的边界行为。
• Lamperti变换被用于将BPI-过程与时间变换后的过程关联，从而实现对爆炸与灭绝的分析。
• Feller的尺度测度与速度测度准则被应用于基于 $\Phi_{c,b}$ 与 $\Psi_{d,\rho}$ 的积分收敛性，对0和1处的边界行为进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下BPI-过程会在有限时间内爆炸，相互作用机制如何影响这一行为？
• RQ2 BPI-过程在何时几乎必然灭绝，合作与竞争如何影响灭绝概率？
• RQ3 过程在何时从无穷大下降，相互作用机制在这一行为中起什么作用？
• RQ4 BPI-过程是否具有平稳分布，其存在的积分条件是什么？
• RQ5 0处的边界行为（吸收、反射、入口或出口）如何依赖于参数 $c$、$d$ 与 $b$？

主要发现

• 当且仅当 $\int_0^1 \int_0^x \frac{1}{y \Phi_{c,b}(y)} \, dy \, dx = \infty$ 时，过程发生爆炸，其结果取决于 $\Phi_{c,b}$ 在0附近的性质。
• 当 $\int_0^1 \int_0^x \frac{1}{y \Phi_{c,b}(y)} \, dy \, dx < \infty$ 时，过程几乎必然灭绝，该条件与相互作用机制的可积性相关。
• 当 $\int_0^1 \int_0^x \frac{1}{y \Phi_{c,b}(y)} \, dy \, dx < \infty$ 且 $\int_0^1 \frac{\Psi_{d,\rho}(x)}{x \Phi_{c,b}(x)} \, dx = \infty$ 时，过程从无穷大下降，确保过程能从无穷大种群到达有限种群。
• 平稳分布存在的充要条件是 $\int_0^1 \frac{\Psi_{d,\rho}(x)}{x \Phi_{c,b}(x)} \, dx < \infty$，其结果取决于分支机制与相互作用机制之间的平衡。
• 当 $d > 0$ 且 $\Phi_{c,b}$ 远离零时，0处的边界为规则反射边界；当 $d > c$ 时，为入口边界；当 $d = 0$ 时，为出口边界，具体取决于自然死亡与竞争的相对强度。
• 当 $d = c$ 时，若 $\mathcal{S}_{c,\rho}^{c,b}(\theta;0) = -\infty$，则0处的边界为入口边界，否则为规则边界，通过对偶过程确认了规则反射行为。