[论文解读] Branching random walk with a random environment in time

Chunmao Huang, Quansheng Liu|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 34被引用 10

一句话总结

本文研究了在 ℝ 上具有时变随机环境的分支随机游走，建立了粒子位置经验测度的大偏差原理、中心极限定理与局部极限定理，以及极端位置（最右与最左粒子）的大数定律。关键贡献是在超临界性与遍历性假设下，归一化极端位置的几乎必然收敛于显式确定性极限。

ABSTRACT

We consider a branching random walk on $\mathbb{R}$ with a stationary and ergodic environment $ξ=(ξ_n)$ indexed by time $n\in\mathbb{N}$. Let $Z_n$ be the counting measure of particles of generation $n$. For the case where the corresponding branching process $\{Z_n(\mathbb{R})\}$ $ (n\in\mathbb{N})$ is supercritical, we establish large deviation principles, central limit theorems and a local limit theorem for the sequence of counting measures $\{Z_n\}$, and prove that the position $R_n$ (resp. $L_n$) of rightmost (resp. leftmost) particles of generation $n$ satisfies a law of large numbers.

研究动机与目标

• 分析在时间齐次随机环境中分支随机游走中计数测度 $ Z_n $ 的渐近行为。
• 在 quenched 与 annealed 测度下，为缩放后的经验测度 $ Z_n(n\bullet) $ 建立大偏差原理。
• 推导归一化经验测度 $ \mathbb{E}_\xi[Z_n(\bullet)/Z_n(\mathbb{R})] $ 及其 annealed 对应物的中心极限定理与局部极限定理。
• 证明最右与最左粒子位置 $ R_n $ 与 $ L_n $ 的大数定律，表明其归一化位置几乎必然收敛于显式极限。
• 将独立同分布环境下的经典结果推广至平稳、遍历时变环境的情形。

提出的方法

• 应用 Gärtner-Ellis 定理，通过自由能 $ \frac{1}{n}\log \tilde{Z}_n(t) $ 收敛于显式极限，推导 quenched 均值 $ \mathbb{E}_\xi Z_n(n\bullet) $ 的大偏差原理。
• 利用 $ Z_n(\mathbb{R})/P_n $ 关于 $ W $ 的鞅收敛性，其中 $ P_n = \prod_{i=0}^{n-1} m_i $，并假设 $ \mathbb{E}\log m_0 > 0 $ 且 $ \mathbb{E}\frac{N}{m_0}\log^+ N < \infty $ 以保证非退化性。
• 建立 quenched 中心极限定理：$ \mathbb{E}_\xi[Z_n(-\infty, b_n x + a_n]/Z_n(\mathbb{R}) \mid Z_n(\mathbb{R})>0] \to \Phi(x) $ a.s.，其中 $ a_n = \sum_{i=0}^{n-1} \mu_i $，$ b_n = (\sum_{i=0}^{n-1} \sigma_i^2)^{1/2} $。
• 通过条件期望与控制收敛定理，控制 quenched 与 annealed 极限之间的差异，证明 annealed 中心极限定理。
• 通过 $ \frac{1}{n} \log \tilde{Z}_n(t) $ 的收敛性与矩生成函数的渐近行为，分析极端位置 $ R_n $ 与 $ L_n $。
• 利用 $ \mathbb{E}_\xi Z_n(n\bullet) $ 满足大偏差原理，且 $ \tilde{Z}_n(t) $ 的增长速率由环境的 Lyapunov 指数决定的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 在时变随机环境中，分支随机游走的经验测度 $ Z_n(n\bullet) $ 是否满足大偏差原理？
• RQ2 归一化后的最右与最左粒子位置的渐近行为如何？
• RQ3 quenched 与 annealed 粒子位置分布是否满足中心极限定理？其缩放极限为何？
• RQ4 $ R_n/n $ 与 $ L_n/n $ 的几乎必然极限是什么？其与环境的关系如何？
• RQ5 经典分支随机游走结果在 i.i.d. 环境下的结论能否推广至平稳、遍历时变环境情形？

主要发现

• 在 quenched 测度下，序列 $ \{Z_n(n\bullet)\} $ 满足大偏差原理，速率函数通过 Gärtner-Ellis 定理导出。
• 自由能 $ \frac{1}{n}\log \tilde{Z}_n(t) $ 几乎必然收敛于依赖于环境矩生成函数的显式极限。
• 归一化最右与最左粒子位置满足大数定律：$ \frac{R_n}{n} \to \rho $ 与 $ \frac{L_n}{n} \to \ell $ a.s.，其中 $ \rho $ 与 $ \ell $ 由环境矩生成函数显式确定。
• quenched 与 annealed 粒子位置分布满足中心极限定理：$ \mathbb{E}_\xi[Z_n(-\infty, b_n x + a_n]/Z_n(\mathbb{R}) \mid Z_n(\mathbb{R})>0] \to \Phi(x) $ a.s.，且 annealed 版本依分布收敛于标准正态分布函数。
• 在适当的非格点与矩条件之下，局部极限定理成立，确保粒子位置密度在中心化与缩放后收敛于高斯密度。
• quenched 均值 $ \mathbb{E}_\xi Z_n(n\bullet) $ 收敛于确定性极限，是大偏差结果成立的关键，且条件 $ \mathbb{E}\frac{N}{m_0}\log^+ N < \infty $ 确保了极限鞅 $ W $ 的非退化性。