[论文解读] Branching structure for an (L-1) random walk in random environment and its applications

Wenming Hong, Huaming Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用 14

一句话总结

本文引入了一类在随机环境中具有移民的多类型分支过程（MBPREI），用于分析具有有界跳跃的（L-1）随机环境中随机游走，实现了不变密度的全新推导以及稳定极限定理的建立。通过重新诠释向下跳跃的机制，利用重叠的粒子追踪方法，作者建立了广义 Kesten-Kozlov-Spitzer 结果的稳定极限定理，适用于近邻游走。

ABSTRACT

By decomposing the random walk path, we construct a multitype branching process with immigration in random environment for corresponding random walk with bounded jumps in random environment. Then we give two applications of the branching structure. Firstly, we specify the explicit invariant density by a method different with the one used in Brémont [3] and reprove the law of large numbers of the random walk by a method known as the environment viewed from particles". Secondly, the branching structure enables us to prove a stable limit law, generalizing the result of Kesten-Kozlov-Spitzer [11] for the nearest random walk in random environment. As a byproduct, we also prove that the total population of a multitype branching process in random environment with immigration before the first regeneration belongs to the domain of attraction of some κ-stable law.

研究动机与目标

• 为具有有界跳跃的（L-1）随机环境中随机游走构造一类具有移民的多类型分支过程（MBPREI）。
• 提供一种不依赖 Brémont [3] 中使用的（IM）条件的不变密度的替代推导。
• 通过“从粒子视角观察环境”的方法，重新证明（L-1）RWRE 的大数定律。
• 为（L-1）RWRE 建立一个稳定极限定理，推广 Kesten-Kozlov-Spitzer 对近邻游走的结果。
• 证明在首次再生之前，具有移民的多类型分支过程的总种群数量位于 κ-稳定分布的吸引域中。

提出的方法

• 将随机游走路径分解为重叠的片段，将从状态 i 出发的大小为 l 的向下跳跃，解释为由状态 i−1, ..., i−l 记忆。
• 构造一个在随机环境中具有每代一个类型-1移民的多类型分支过程，以表示状态 n 的首次 hitting 时间 T_n。
• 利用分支结构分析首达时间的 quenched 分布律，并通过分支过程的平稳分布推导不变密度。
• 应用“从粒子视角观察环境”的方法，通过分析粒子运动视角下的环境，重新证明大数定律。
• 通过分析首达时间的缩放极限，结合矩估计与矩生成函数技术，建立稳定极限定理。
• 利用涉及随机矩阵乘积与分支过程 κ 阶矩的矩估计与尾部界，控制收敛到稳定律的过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个具有移民的多类型分支过程，以建模具有有界跳跃的（L-1）随机环境中随机游走？
• RQ2 该分支结构是否允许在不使用（IM）条件的情况下，直接推导出不变密度？
• RQ3 能否通过该分支结构，利用“从粒子视角观察环境”的方法，重新证明（L-1）RWRE 的大数定律？
• RQ4 （L-1）RWRE 的首达时间是否收敛到一个稳定分布，从而推广 Kesten-Kozlov-Spitzer 对近邻游走的结果？
• RQ5 在首次再生之前，具有移民的多类型分支过程的总种群数量是否位于 κ-稳定分布的吸引域中？

主要发现

• 成功构造了具有移民的多类型分支过程（MBPREI），用于建模（L-1）随机环境中随机游走，实现了通过重叠跳跃记忆的路径分解。
• 利用分支结构显式推导出（L-1）RWRE 的不变密度，避免了 Brémont [3] 中对（IM）条件的依赖。
• 通过“从粒子视角观察环境”的方法，在分支过程框架下重新证明了（L-1）RWRE 的大数定律。
• 为（L-1）RWRE 的首达时间建立了稳定极限定理，推广了 Kesten-Kozlov-Spitzer 对近邻游走的结果。
• 证明了在首次再生之前，具有移民的多类型分支过程的总种群数量位于 κ-稳定分布的吸引域中。
• 利用涉及随机矩阵乘积与分支过程 κ 阶矩的矩估计，证明了紧致性与收敛性，其界依赖于环境的矩条件。