[论文解读] Branching-time model checking of one-counter processes

Stefan Göller, Markus Lohrey|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2009

Formal Methods in Verification参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文确定了在一棵计数器过程（OCPs）上对计算树逻辑（CTL）进行分支时间模型检测的计算复杂度。论文提出了一种新颖的算法，利用OCP中周期性行为的特性，实现了对固定OCP和左向直到深度有界的CTL公式的多项式时间模型检测，同时证明了即使在固定公式或OCP的情况下，表达式复杂度和数据复杂度仍保持为PSPACE完全。

ABSTRACT

One-counter processes (OCPs) are pushdown processes which operate only on a unary stack alphabet. We study the computational complexity of model checking computation tree logic (CTL) over OCPs. A PSPACE upper bound is inherited from the modal mu-calculus for this problem. First, we analyze the periodic behaviour of CTL over OCPs and derive a model checking algorithm whose running time is exponential only in the number of control locations and a syntactic notion of the formula that we call leftward until depth. Thus, model checking fixed OCPs against CTL formulas with a fixed leftward until depth is in P. This generalizes a result of the first author, Mayr, and To for the expression complexity of CTL's fragment EF. Second, we prove that already over some fixed OCP, CTL model checking is PSPACE-hard. Third, we show that there already exists a fixed CTL formula for which model checking of OCPs is PSPACE-hard. To obtain the latter result, we employ two results from complexity theory: (i) Converting a natural number in Chinese remainder presentation into binary presentation is in logspace-uniform NC^1 and (ii) PSPACE is AC^0-serializable. We demonstrate that our approach can be used to obtain further results. We show that model-checking CTL's fragment EF over OCPs is hard for P^NP, thus establishing a matching lower bound and answering an open question of the first author, Mayr, and To. We moreover show that the following problem is hard for PSPACE: Given a one-counter Markov decision process, a set of target states with counter value zero each, and an initial state, to decide whether the probability that the initial state will eventually reach one of the target states is arbitrarily close to 1. This improves a previously known lower bound for every level of the Boolean hierarchy by Brazdil et al.

研究动机与目标

• 确定在一棵计数器过程（OCPs）上CTL模型检测的计算复杂度。
• 分析CTL公式在OCPs中的周期性行为，以设计高效的模型检测算法。
• 为OCPs上CTL模型检测的表达式复杂度和数据复杂度建立紧致的复杂度界限——上下界均精确。
• 解决关于OCPs上EF片段模型检测复杂度的开放问题。
• 展示该方法在相关问题中的适用性，例如在一棵计数器MDP中的概率可达性问题。

提出的方法

• 作者分析了CTL公式在OCPs上满足性的周期性结构，重点关注计数器值和控制位置。
• 他们定义了一种称为“左向直到深度”的句法度量，以限制模型检测算法中的指数爆炸。
• 设计了一种模型检测算法，其运行时间仅在控制位置数量和左向直到深度上呈指数增长，从而在固定OCP和固定左向直到深度时实现PTIME。
• 论文通过从PSPACE完全问题（包括交替一元有限自动机的空性问题）的归约，证明了PSPACE难解性。
• 应用复杂性理论结果：对数空间均匀的NC¹用于中国剩余定理的二进制转换，以及PSPACE的AC⁰-可串行化性，以构建难解性归约。
• 该方法被扩展以证明P^NP和在一棵计数器MDP中概率可达性问题的难解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一棵计数器过程上，CTL模型检测的计算复杂度是什么？
• RQ2 当OCP或公式的左向直到深度被固定时，模型检测问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ3 在一棵计数器过程上，CTL模型检测的表达式复杂度是否为PSPACE完全？
• RQ4 在一棵计数器过程上，CTL模型检测的数据复杂度是否为PSPACE完全？
• RQ5 在一棵计数器MDP中，目标状态为零计数器时，概率可达性问题的复杂度是多少？

主要发现

• 在一棵计数器过程上，CTL模型检测是PSPACE完全的，即使OCP或公式被固定。
• 当OCP和CTL公式具有固定的左向直到深度时，模型检测属于PTIME，该结果推广了此前对EF片段的结果。
• 在一棵计数器过程上，CTL模型检测的表达式复杂度是PSPACE难解的，从而确定了关键的复杂度边界。
• 在一棵计数器过程上，CTL模型检测的数据复杂度是PSPACE难解的，即使固定了CTL公式。
• 在一棵计数器过程上，CTL的EF片段是P^NP难解的，建立了匹配的下界，解决了长期存在的开放问题。
• 在一棵计数器MDP中，目标状态为零计数器的概率可达性问题是PSPACE难解的，改进了布尔层次中先前的下界结果。